Loi logistique

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Loi logistique
Paramètres	$μ$ réel $s > 0$ réel
Support	$x \in] - \infty, + \infty [$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{e ^{- (x - μ) / s}}{s ( 1 + e ^{- (x - μ) / s} ) ^{2}}$
Fonction de répartition	$\frac{1}{1 + e ^{- (x - μ) / s}}$
Espérance	$μ$
Médiane (centre)	$μ$
Mode	$μ$
Variance	$\frac{π ^{2}}{3} s^{2}$
Asymétrie (statistique)	$0$
Kurtosis (non-normalisé)	$6/5$
Entropie	$ln (s) + 2$
Fonction génératrice des moments	$e^{μ t} B (1 - s t, 1 + s t)$ for $∣ s t ∣ < 1$ , Fonction bêta
Fonction caractéristique	$e^{i μ t} B (1 - i s t, 1 + i s t)$ for $∣ i s t ∣ < 1$

En probabilité, la loi logistique de paramètre μ et s > 0 est une loi de probabilité dont la densité est

f (x) = \frac{e ^{- \frac{x - μ}{s}}}{s ( 1 + e ^{- \frac{x - μ}{s}} ) ^{2}}

Sa fonction de répartition est

F (x) = \frac{1}{1 + e ^{- \frac{x - μ}{s}}}

Son nom de loi logistique est issu du fait que sa fonction de répartition est une fonction logistique Son espérance et sa variance sont données par les formules suivantes :

E (X) = μ

V (x) = \frac{s ^{2} π ^{2}}{3}

Elle est utilisée en régression logistique

La loi logistique standard est la loi logistique de paramètre 0 et 1.

Sa fonction de répartition est la sigmoïde

F (x) = \frac{1}{1 + e ^{- x}}

Son espérance et sa variance sont données par les formules suivantes :

E (X) = 0

V (x) = \frac{π ^{2}}{3}