Matrice compagnon

En algèbre linéaire, la matrice compagnon du polynôme unitaire

est la matrice carrée définie de la façon suivante :

(il s'agit en réalité de la transposée de cette matrice).

Le polynôme caractéristique ainsi que le polynôme minimal de C(p) sont égaux à p ; en ce sens, la matrice C(p) est la « compagne » du polynôme p.

Si le polynôme p(t) possède n racines distinctes ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ (les valeurs propres de C(p)), alors C(p) est diagonalisable de la façon suivante :

où V est la matrice de Vandermonde associée à ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$.

Si A est une matrice d'ordre n dont les coefficients appartiennent à un corps $\mathbb{K}$, alors les propositions suivantes sont équivalentes :

• A est semblable à une matrice compagnon à coefficients dans $\mathbb{K}$
• le polynôme caractéristique de A est le polynôme minimal de A
• il existe un vecteur v dans ${\mathbb{K}}^n$ tel que {v,A**v,A**v,...,A**v} est une base de $\mathbb{K}$.

Toutes les matrices carrées ne sont pas semblables à une matrice compagnon mais toute matrice est semblable à une matrice composée de blocs de matrices compagnons. De plus, ces matrices compagnons peuvent être choisies de telle sorte que leurs polynômes caractéristiques se divisent entre eux ; ils sont alors déterminés de façon unique par A. C'est la forme canonique rationnelle de A.