Matrice de Sylvester

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Introduction

En algèbre linéaire, la matrice de Sylvester de deux polynômes apporte des informations d'ordre arithmétique sur ces polynômes. Elle tient son nom de James Joseph Sylvester. Elle sert à la définition du résultant de deux polynômes.

Définition

Soient p et q deux polynômes non nuls, de degrés respectifs m et n.

p (z) = p_{0} + p_{1} z + p_{2} z^{2} + \dots + p_{m} z^{m}, q (z) = q_{0} + q_{1} z + q_{2} z^{2} + \dots + q_{n} z^{n} .

La matrice de Sylvester associée à p et q est la matrice carrée $(n + m) \times (n + m)$ définie ainsi

la première ligne est formée des coefficients de p, suivis de 0

(p_{m} p_{m - 1} \dots p_{1} p_{0} 0 \dots 0) .

la seconde ligne s'obtient à partir de la première par permutation circulaire vers la droite
les (n-2) lignes suivantes s'obtiennent en répétant même opération
la ligne (n+1) est formée des coefficients de q, suivis de 0

(q_{n} q_{n - 1} \dots q_{1} q_{0} 0 \dots 0) .

les (m-1) lignes suivantes sont formées par des permutations circulaires

Ainsi dans le cas m=4 et n=3, la matrice obtenue est

S_{p, q} = (p_{4} p_{3} p_{2} p_{1} p_{0} 000 p_{4} p_{3} p_{2} p_{1} p_{0} 000 p_{4} p_{3} p_{2} p_{1} p_{0} q_{3} q_{2} q_{1} q_{0} 0000 q_{3} q_{2} q_{1} q_{0} 0000 q_{3} q_{2} q_{1} q_{0} 0000 q_{3} q_{2} q_{1} q_{0}) .

Le déterminant de la matrice de p et q est appelé déterminant de Sylvester ou résultant de p et q.

Applications

L'équation de Bézout d'inconnues les polynômes x (de degré <n) et y (de degré <m)

x \cdot p + y \cdot q = 0

peut être réécrite matriciellement

(S_{p,q})^{t} \cdot\begin{pmatrix}\tilde x\tilde y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\0\end{pmatrix}

dans laquelle t désigne la transposée, $\tilde{x}$ est le vecteur de taille n des coefficients du polynôme x (dans l'ordre décroissant), et $\tilde{y}$ le vecteur de taille m des coefficients du polynôme y.

Ainsi le noyau de la matrice de Sylvester donne toutes les solutions de cette équation de Bézout avec degx < degq et degy < degp.

Le rang de la matrice de Sylvester est donc relié au degré du PGCD de p et q.

$de g (pgcd (p, q)) = m + n - rang S_{p, q}$ .

Notamment, le résultant de p et q est nul si et seulement si p et q ont un facteur commun de degré supérieur ou égal à un.