Matrice positive

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Introduction

En algèbre linéaire, la notion de matrice positive est analogue à celle de nombre réel positif ou nul.

Une matrice définie positive est une matrice positive inversible.

Matrice symétrique réelle positive

Soit M une matrice symétrique réelle d'ordre n. Elle est dite positive si elle vérifie l'une des deux propriétés équivalentes suivantes :

1.	La forme bilinéaire symétrique qu'elle représente est positive, c'est-à-dire : pour toute matrice colonne $x$ à n éléments réels, on a $x^{T} M x \geq 0$ .
2.	Les valeurs propres de M (qui sont automatiquement réelles) sont positives ou nulles, c'est-à-dire : $sp (M) \subset [0, + \infty [$ .

Exemples

Soit f une fonction réelle de n variables réelles définie et de classe C sur un ouvert de $R^{n}$ . En tout point où f atteint un minimum local, sa matrice hessienne est positive (condition nécessaire d'ordre 2 pour un point de minimum local).
Étant donné un vecteur aléatoire $(T_{1}, \dots, T_{n})$ à valeurs dans $R^{n}$ dont chaque composante admet une variance, on définit sa matrice des covariances :

Γ = (cov (T_{i}, T_{j})) \in S_{n} (R)

Celle-ci est positive. En effet, pour toute matrice colonne $x$ à n éléments réels notés $x_{1}, \dots, x_{n}$ :

x^{T} Γ x = Var (x_{1} T_{1} + \dots + x_{n} T_{n}) \geq 0

Elle est définie positive si et seulement si la seule combinaison linéaire de $T_{1}, \dots, T_{n}$ qui soit certaine est celle dont tous les coefficients sont nuls.

Propriétés

Pour toute matrice réelle A, la matrice A.A est une matrice symétrique positive. De plus si A est une matrice carrée inversible, A.A est définie positive.
Toute matrice réelle symétrique positive admet une unique racine carrée réelle symétrique positive. Plus formellement :

$\forall S \in S_{n}^{+} (R), \exists! T \in S_{n}^{+} (R), T^{2} = S$ .

Ce résultat se généralise aux racines n-ièmes.

Matrice hermitienne positive

On étend les propriétés et définitions précédentes aux matrices complexes hermitiennes.

Soit M une matrice hermitienne d'ordre n. Elle est dite positive si elle vérifie l'une des deux propriétés équivalentes suivantes :

1.	Pour toute matrice colonne $z$ à n éléments complexes, on a $z^{} M z \geq 0$ (où $z^{}$ désigne la matrice transconjuguée de $z$ ).
2.	Toutes les valeurs propres de M sont positives ou nulles, c'est-à-dire : $sp (M) \subset [0, + \infty [$ .