Matrice transposée

La matrice transposée (on dit aussi la transposée) d'une matrice $A\in {\mathcal{M}}_{n,m}(\mathbb{K})$ est la matrice notée ${}^{t}A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{K})$ (aussi parfois notée $A^T$ ou $A^t$), obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A.

Si B = A alors $\forall (i,j)\in [[1;m]]\times [[1;n]],b_{i,j}=a_{j,i}$.

Exemple : si $A=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 34& 5& 6\end{array}\right)$ alors ${}^{t}A=\left(\begin{array}{cccc}1& 42& 53& 6\end{array}\right)$

• L'application "transposition" est linéaire :

• La transposée de ${}^{t}A$ est $A$. Autrement dit, l'application "transposition" ${}^t:\mathcal{M}n,m(\mathbb{K})\to \mathcal{M}m,n(\mathbb{K})$ est une involution. Elle est par conséquent (non seulement linéaire, mais aussi) bijective. C'est donc un isomorphisme.
• La transposée du produit de deux matrices est égale au produit des transposées de ces deux matrices, mais dans l'ordre inverse :

• Si une matrice est inversible (donc carrée) alors la transposée de son inverse est égale à l'inverse de sa transposée :

• Si $A$ désigne une matrice carrée de dimension n et B sa transposée, alors A et B ont même diagonale principale (et par conséquent également la même trace):

• En particulier, toute matrice diagonale est symétrique, c'est-à-dire égale à sa transposée.

Dans le cadre des espaces euclidiens, si A représente une application linéaire f:E→F par rapport à deux bases orthonormales B_E, B_F alors sa transposée A représente la matrice, dans les bases B_F, B_E , de son opérateur adjoint f*:F→E, caractérisé par :

Plus généralement, si A représente une application linéaire par rapport à deux bases, alors sa transposée A représente la matrice de la transposée de l'application par rapport aux bases duales (voir espace dual).