Nombre de Bernoulli

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Introduction

En mathématiques, les nombres de Bernoulli, notés $B_{n}$ (ou parfois $b_{n}$ , pour ne pas les confondre avec les polynômes de Bernoulli), constituent une suite de nombres rationnels, qui ont d'abord été étudiés par Jacques Bernoulli (ce qui a conduit Abraham de Moivre à leur donner le nom que nous connaissons aujourd'hui) en cherchant des formules pour exprimer les sommes du type :

k = 0 \sum m - 1 k^{n} = 0^{n} + 1^{n} + 2^{n} + \dots + (m - 1)^{n}

pour différentes valeurs de l'entier n, mais qui apparaissent dans de très nombreuses applications, depuis la formule d'Euler-Maclaurin jusqu'à l'approche par Kummer du dernier théorème de Fermat.

Introduction : sommes de puissances

L'expression $\sum_{k = 0}^{m - 1} k^{n}$ est toujours un polynôme en m, de degré $n + 1$ , dont les coefficients définissent les nombres de Bernoulli B_n de la façon suivante :

k = 0 \sum m - 1 k^{n} = S_{n} (m) = \frac{1}{n + 1} k = 0 \sum n (k n + 1) B_{k} m^{n + 1 - k};

ces polynômes sont également liés aux polynômes de Bernoulli : on a (pour tout n et m) S_n(m) = (B_{n + 1}(m) − B_{n + 1}(0)) / (n + 1). Par exemple, en donnant à n la valeur 1, on obtient :

0 + 1 + 2 + \dots + (m - 1) = \frac{1}{2} (m^{2} - m) = \frac{1}{2} (B_{0} m^{2} + 2 B_{1} m^{1}),

ce qui montre que B₀ = 1 et B₁ = − 1 / 2 (on utilise parfois la notation $b_{n}$ pour distinguer les nombres de Bernoulli des nombres de Bell).

On verra plus bas qu'il est également possible de les calculer par récurrence, obtenant :

k = 0 \sum n (k n + 1) B_{k} = 0

(avec la condition initiale : $B_{0} = 1$ ).

Les nombres de Bernoulli peuvent aussi être définis par l'intermédiaire de fonctions génératrices. Leur fonction génératrice exponentielle est $\frac{x}{e ^{x} - 1}$ , de telle sorte que :

\frac{x}{e ^{x} - 1} = n = 0 \sum \infty B_{n} \frac{x ^{n}}{n !}

pour tout x de valeur absolue inférieure à $2 π$ (le rayon de convergence de cette série entière).

Cette définition peut être montrée équivalent à la précédente à l'aide d'un raisonnement par récurrence : le premier terme de la série est clairement B₀ (par prolongement par continuité). Pour obtenir la récurrence, on multiplie les deux côtés de l'équation par e − 1. Alors, en utilisant les séries de Taylor pour la fonction exponentielle,

x = (j = 1 \sum \infty \frac{x ^{j}}{j !}) (k = 0 \sum \infty \frac{B _{k} x ^{k}}{k !}) .

En développant ceci en produit de Cauchy et en réarrangeant légèrement, on obtient

x = m = 0 \sum \infty (j = 0 \sum m (j m + 1) B_{j}) \frac{x ^{m + 1}}{( m + 1 )!} .

Il est clair, à partir de cette dernière égalité, que les coefficients dans cette série de puissances satisfont la même récurrence que celle des nombres de Bernoulli.

Valeurs

Les premiers nombres de Bernoulli sont les suivants :

n

B_n

0

1

1

−1/2 = −0,5

2

1/6 ≈ 0,1667

4

−1/30 ≈ −0,0333

6

1/42 ≈ 0,02381

8

−1/30 ≈ −0,0333

10

5/66 ≈ 0,07576

12

−691/2730 ≈ −0,2531

14

7/6 ≈ 1,1667

n

B_n

16

−3617/510 ≈ −7,0922

18

43867/798 ≈ 54,9712

20

−174611/330 ≈ −529,124

22

854513/138 ≈ 6192,12

24

−236364091/2730 ≈ −86580,3

26

8553103/6 ≈ 1425517

28

−23749461029/870 ≈ −27298231

30

8615841276005/14322 ≈ 601580874

32

−7709321041217/510 ≈ −15116315767

À l'aide de la fonction génératrice, on peut démontrer que $B_{n} = 0$ lorsque n est impair et différent de 1, et que les signes des B_n alternent ensuite.

L'apparition de $B_{12} = \frac{- 691}{2730}$ semble montrer que les valeurs des nombres de Bernoulli ne peuvent pas être décrites simplement ; en fait, ce sont essentiellement des valeurs de la fonction ζ de Riemann pour des valeurs entières négatives de la variable, (puisque $ζ (- n) = - B_{n + 1} / (n + 1)$ pour tous les entiers positifs n), et on sait que cette dernière est d'étude difficile (voir hypothèse de Riemann) ; on pourrait donc penser qu'une formule permettant de calculer les nombres de Bernoulli n'existe pas. Ce n'est pas le cas. Sont présentées ci-dessous des méthodes de calcul rapide par récurrence et une formule explicite comme somme de coefficients binomiaux.

Formules de récurrence et formules explicites

Pour définir les nombres de Bernoulli par récurrence, repartons des sommes $S_{m} (n) = \sum_{k = 0}^{n - 1} k^{m}$ . On remarque que $S_{m + 1} (n + 1) = \sum_{k = 1}^{n} k^{m + 1} = \sum_{k = 0}^{n - 1} (k + 1)^{m + 1}$ , et donc, d'après la formule du binôme, que $S_{m + 1} (n + 1) = \sum_{j = 0}^{m + 1} (k m + 1) S_{k} (n)$ ; le terme en S_{m + 1} s'élimine, et on obtient finalement (après réindexation)

S_{m} (n) = n^{m} - k = 0 \sum m - 1 (k m) \frac{S _{k} ( n )}{m - k + 1}

pour tous les entiers n ≥ 0, m ≥ 0, 0 étant pris égal à 1, ce qu'on peut voir comme une définition par récurrence des S_m(n), avec pour base S₀(n) = 1 pour tout n ; c'est cette approche qui permet de démontrer que les coefficients de S_m(n) sont bien de la forme donnée dans l'introduction. Prenant ainsi n = 1, on obtient

S_{m} (1) = 1 - k = 0 \sum m - 1 (k m) \frac{S _{k} ( 1 )}{m - k + 1} .

Or on a vu que pour $m \geq 1$ on a (par définition) $S_{m} (1) = \sum_{k = 0}^{0} k^{m} = 0 = \frac{1}{n + 1} \sum_{k = 0}^{n} (k n + 1) B_{k}$ ; on obtient ainsi la récurrence exposée en introduction :

k = 0 \sum n (k n + 1) B_{k} = 0

On peut en fait également définir les B_n sans récurrence : utilisant les nombres de Stirling (de deuxième espèce), on a (pour n>1)

B_{n} = k = 0 \sum n (- 1)^{k} \frac{k !}{k + 1} {n k} .

d'où (en utilisant les formules explicites pour les nombres de Stirling, et en simplifiant)

B_{n} = k = 0 \sum n (- 1)^{k} \frac{k !}{k + 1} (\frac{1}{k !} j = 1 \sum k (- 1)^{k - j} (j k) j^{n}) = \sum k = 0^{n} \frac{1}{k + 1} \sum j = 0^{k} (- 1)^{j} (j k) j^{n}

On trouve souvent dans la littérature l'affirmation selon laquelle des formules explicites pour les nombres de Bernoulli n'existent pas ; les deux dernières équations montrent qu'il n'en est rien. En fait, dès 1893, Louis Saalschütz (de) recensait un total de 38 formules explicites, donnant généralement des références bien plus anciennes.

Identités remarquables

Leonhard Euler a obtenu la relation suivante entre les nombres de Bernoulli et la fonction zêta de Riemann :

B_{2 k} = (- 1)^{k - 1} \frac{ζ ( 2 k ) 2 ( 2 k )!}{( 2 π ) ^{2 k}}

Les relations suivantes, dues à Ramanujan, fournissent une méthode plus efficace pour le calcul des nombres de Bernoulli :

m \equiv 0 mod 6 (m m + 3) B_{m} = \frac{m + 3}{3} - j = 1 \sum m /6 (m - 6 j m + 3) B_{m - 6 j}

m \equiv 2 mod 6 (m m + 3) B_{m} = \frac{m + 3}{3} - j = 1 \sum (m - 2) /6 (m - 6 j m + 3) B_{m - 6 j}

m \equiv 4 mod 6 (m m + 3) B_{m} = - \frac{m + 3}{6} - j = 1 \sum (m - 4) /6 (m - 6 j m + 3) B_{m - 6 j}

Une identité de Carlitz :

(- 1)^{m} r = 0 \sum m (r m) B_{n + r} = (- 1)^{n} s = 0 \sum n (s n) B_{m + s}

Applications en analyse

Les nombres de Bernoulli apparaissent dans le développement en série de Taylor des fonctions tangentes (circulaire et hyperbolique), dans la formule d'Euler-Maclaurin ainsi que dans des expressions de certaines valeurs de la fonction zêta de Riemann.

Propriétés arithmétiques

Les premiers nombres de Bernoulli donnés par la fonction zêta de Riemann.

Il est possible d'exprimer les nombres de Bernoulli grâce à la fonction zêta de Riemann de la façon suivante :

$B_{n} = - n ζ (1 - n)$ ;

C'est la raison pour laquelle les nombres de Bernoulli possèdent des propriétés arithmétiques profondes, comme l'a découvert Kummer dans ses travaux sur le dernier théorème de Fermat.

Les propriétés de divisibilité des nombres de Bernoulli sont liées aux groupes des classes d'idéaux des corps cyclotomiques par un théorème de Kummer et son renforcement dans le théorème de Herbrand-Ribet, et aux nombres de classes des corps quadratiques par la congruence d'Ankeny-Artin-Chowla. Nous avons aussi un lien de parenté avec la K-théorie algébrique; si $c_{n}$ est le numérateur de $\frac{B _{n}}{2 n}$ , alors l'ordre de $K_{4 n - 2} (Z)$ est $- c_{2 n}$ si n est pair, et $2 c_{2 n}$ si n est impair.

Le théorème de von Staudt-Clausen est aussi relié à la divisibilité. Il énonce ceci : si nous ajoutons $\frac{1}{p}$ à $B_{n}$ pour chaque nombre premier p tel que p − 1 divise n, nous obtenons un nombre entier. Ce fait nous permet immédiatement de caractériser les dénominateurs des nombres de Bernoulli différents de zéro $B_{n}$ comme le produit de tous les nombres premiers p tels que p − 1 divise n; en conséquence, les dénominateurs sont sans carré et divisibles par 6.

La conjecture d'Agoh-Giuga postule que p est un nombre premier si et seulement si $p B_{p - 1} \equiv - 1 mod p$ .

Continuité p-adique

Une propriété de congruence spécialement importante des nombres de Bernoulli peut être caractérisée comme une propriété de continuité p-adique. Si b, m et n sont des nombres entiers positifs tels que m et n ne sont pas divisibles par $p - 1$ et $m \equiv n mod p^{b - 1} (p - 1)$ , alors

$(1 - p^{m - 1}) \frac{B _{m}}{m} \equiv (1 - p^{n - 1}) \frac{B _{n}}{n} mod p^{b}$ .

Puisque $B_{n} = - n ζ (1 - n)$ , ceci peut être aussi écrit

(1 - p^{- u}) ζ (u) \equiv (1 - p^{- v}) ζ (v) mod p^{b}

où $u = 1 - m$ et $v = 1 - n$ , c’est-à-dire u et v sont négatifs et non congru à 1 mod p-1. Ceci nous indique que la fonction zêta de Riemann, avec $1 - p^{z}$ prise hors de la formule du produit d'Euler, est continue pour les nombres p-adiques sur les nombres entiers négatifs congrus mod p-1, en particulier $a \neq \equiv 1 mod p - 1$ , et donc, peut être étendu à une fonction continue $ζ_{p} (z)$ pour tous les nombres entiers p-adiques $Z_{p},$ la fonction zêta p-adique.

Propriétés géométriques

La formule de Kervaire-Milnor pour l'ordre du groupe cyclique des classes de difféomorphismes des (4n−1)-sphères exotiques qui bornent des variétés parallélisables pour $n \geq 2$ impliquent les nombres de Bernoulli : si B est le numérateur de $\frac{B _{4 n}}{n}$ , alors $2^{2 n - 2} (1 - 2^{2 n - 1}) B$ est le nombre de ces sphères exotiques. (La formule dans les articles topologiques diffère parce que les topologistes utilisent une convention différente pour nommer les nombres de Bernoulli ; cet article utilise la convention de la théorie des nombres).