Fonction génératrice

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Introduction

En mathématiques, la fonction génératrice de la suite (a_n) est la série formelle définie par

\sum a_{n} X^{n}

On confond parfois la fonction génératrice et une fonction de la variable x. Cependant, il est utile de préciser qu'une fonction génératrice est avant tout une série formelle et que la fonction de la variable x correspondante risque de ne pas converger pour tout x.

fonction génératrice de la suite constante 1 : $\sum X^{n} = \frac{1}{1 - X}$
fonction génératrice de la suite (n) : $\sum n X^{n} = \frac{X}{( 1 - X ) ^{2}}$
fonction génératrice de la suite (n) : $\sum n^{2} X^{n} = \frac{X ( 1 + X )}{( 1 - X ) ^{3}}$
fonction génératrice de la suite $\frac{1}{n !}$ : $\sum \frac{X ^{n}}{n !} = e^{X}$

On parle aussi de fonction génératrice exponentielle de la suite (a_n) définie par la série formelle $\sum a_{n} \frac{X ^{n}}{n !}$ .

Lorsque l'on travaille plutôt avec l'inverse de X, la variable z=1/X, on parle alors de la transformée en Z, $\sum a_{n} (1/ z)^{n}$ , qui est beaucoup utilisée en traitement du signal et en asservissements.

On peut retrouver la suite initiale (a_n) à partir de la fonction génératrice F(X) (resp. la fonction génératrice exponentielle E(X)) selon les formules

a_{k} = \frac{1}{k !} \frac{d ^{k} F}{d X ^{k}} (0) et a_{k} = \frac{d ^{k} E}{d X ^{k}} (0)

En probabilité

Définition

Soit X une variable aléatoire entière et positive, la fonction génératrice de X est la série entière:

G_{X} (t) = k = 0 \sum \infty P (X = k) t^{k},

où $\scriptstyle\ \mathbb{P}(X=k)\$ est la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur k.

Fonctions génératrices de lois usuelles

Pour la loi de Poisson de paramètre λ, on a $\scriptstyle\ \mathbb{P}(X=k)= \frac {\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\$ et il vient

G_{λ} (t) = e^{λ (t - 1)};

Pour la loi binomiale de paramètres (n, p), on a $\scriptstyle\ \mathbb{P}(X=k)= C^k _n p^k (1-p)^{n-k}\$ et on en déduit

G_n,p(t) = (1 − p + p**t).

Propriétés

Le rayon de convergence de cette série entière est toujours supérieur ou égal à 1.
On peut remarquer que

G_{X} (t) = E [t^{X}] .

Si X admet une espérance $\scriptstyle\ \mathbb{E}[X]\$ alors $\scriptstyle\ G_X\$ et sa dérivée sont définies en t=1 et on a:

E [X] = \frac{d G _{X}}{d t} (t = 1) .

Si X admet une variance $\scriptstyle\ \text{Var}(X)\$ , et donc une espérance $\scriptstyle\ \mathbb{E}[X],\$ alors $\scriptstyle\ G_X\$ et ses dérivées première et seconde sont définies en t=1 et on a:

V a r [X] = \frac{d ^{2} G _{X}}{d t ^{2}} (t = 1) + \frac{d G _{X}}{d t} (t = 1) - (\frac{d G _{X}}{d t} (t = 1))^{2} .

Si deux variables aléatoires réelles discrètes à valeurs dans $\scriptstyle\ \mathbb{N}\$ admettent la même fonction génératrice, alors elles ont la même loi de probabilité.
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes entières et positives. Si X et Y sont indépendantes alors on a:

G_{X + Y} = G_{X} \times G_{Y} .

Remarque : La réciproque est fausse.

Si X₁, X₂, ..., X_n est une suite de variables aléatoires indépendantes, et si

S_{n} = i = 1 \sum n a_{i} X_{i},

où les a_i sont des constantes, alors

G_{S_{n}} (z) = E (z^{S_{n}}) = E (z^{\sum_{i = 1}^{n} a_{i} X_{i},}) = G_{X_{1}} (z^{a_{1}}) G_{X_{2}} (z^{a_{2}}) \dots G_{X_{n}} (z^{a_{n}}) .

Par exemple, si les X_i ont de plus même loi (et donc même fonction génératrice G ), alors

S_{n} = i = 1 \sum n X_{i},

a pour fonction génératrice :

G_{S_{n}} = G^{n} .

Composition des fonctions génératrices

La propriété suivante est particulièrement utile à l'étude des processus de Galton-Watson.

Théorème — Soit $\scriptstyle\ (X_n)\$ une suite de variables aléatoires de même loi et $\scriptstyle\ N\$ une variable aléatoire, toutes à valeurs dans $N .$

On pose

S_{N} = n = 1 \sum N X_{n} = n \geq 1 \sum X_{n} 1 1_{{N \geq n}} .

On suppose que $\scriptstyle\ (N,X_1,X_2,...)\$ est une famille de variables aléatoires indépendantes.

Alors :

G_{S_{N}} = G_{N} \circ G_{X} .

Généralisation aux variables aléatoires non entières

Cette notion de fonction génératrice se généralise aux variables aléatoires continues par les fonctions caractéristiques. Une autre notion utile est la fonction génératrice des moments.