Nombre premier de Gauss

En mathématiques et plus précisément en algèbre, un nombre premier de Gauss est une notion de théorie algébrique des nombres concernant les entiers de Gauss.

Un nombre premier de Gauss correspond au concept de nombre premier dans l'anneau des entiers de Gauss.

Les nombres premiers de Gauss sont utilisés pour la résolution d'équations diophantiennes comme le théorème des deux carrés de Fermat ou pour établir des résultats théoriques comme la loi de réciprocité quadratique.

En 1801 dans son livre Recherches arithmétiques Carl Friedrich Gauss développe des arithmétiques sur d'autres anneaux que celui des entiers relatifs. Il utilise particulièrement l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps et l'ensemble des entiers qui portent son nom. Un entier de Gauss est un nombre complexe dont les parties réelle et imaginaire sont entières.

L'ensemble des entiers de Gauss est un anneau euclidien donc factoriel. Une arithmétique modulaire se développe, analogue à celle de l'anneau Z/nZ. Une connaissance fine de la structure nécessite la compréhension des nombres premiers de Gauss. Elle rend opérationnelle le théorème de composition en facteurs premiers.

• Un entier de Gauss est dit nombre premier de Gauss ou irréductible si, et seulement si, les seuls diviseurs de cet entier sont les unités ou le produit du nombre par une unité.

La première approche est un peu déconcertante. Certains nombres premiers dans Z ne sont pas des nombres premiers de Gauss :

En revanche, 2 + i ou 3 sont irréductibles. Il est relativement simple de caractériser les nombres premiers de Gauss. C'est le rôle du prochain paragraphe.

Une notion utile pour l'analyse des entiers de Gauss est la norme arithmétique. Elle est définie comme la somme des carrés de sa partie réelle et imaginaire. Elle est à valeur dans l'ensemble des entiers positifs et est multiplicative : deux entiers x et y vérifient l'égalité N(x.y) = N(x).N(y). La figure de droite illustre cette propriété. La norme est indiquée par le cercle bleu, dans l'exemple la norme de x est égale à deux, celle de y à cinq et le produit possède une norme de dix.

Les éléments inversibles (ou unités) de l'anneau des entiers de Gauss sont les éléments de norme 1, ce sont donc 1, -1, i et -i. Ces nombres jouent un rôle analogue à 1 et -1 dans $\mathbb{Z}$, et les nombres premiers de Gauss peuvent être décrits à la multiplication par une unité près.

Quelques propositions permettent de caractériser les entiers irréductibles :

• Si la norme d'un entier de Gauss est égale à un nombre premier, alors l'entier est un nombre premier de Gauss.

En effet, si u et v sont deux diviseurs d'un entier de Gauss a, alors N(a) = N(u).N(v). En conséquence comme la norme de a est un nombre premier, soit u soit v possède une norme égale à 1.

La réciproque n'est pas vraie, par exemple 3 est un entier de Gauss sans diviseur autre que lui-même et 1 au groupe des unités près, cependant sa norme est égale à 9.

Il existe une condition nécessaire et suffisante simple pour caractériser les nombres premiers de Gauss :

• Un entier naturel est premier (ou irréductible) au sens des entiers de Gauss si et seulement s'il n'est pas somme de deux carrés.

Elle permet de caractériser précisément les nombres irréductibles :

• Un entier de Gauss est irréductible si et seulement si l'une des deux configurations suivantes se produit :

sa norme est un nombre premier et ce nombre premier est congru à 1 modulo 4;

sa norme est le carré d'un nombre premier congru à 3 modulo 4 et dans ce cas ou sa partie réelle ou sa partie imaginaire est nulle.

Autrement dit, les nombres premiers de Gauss sont de la forme suivante, à la multiplication par une unité près :

• le nombre 1 + i
• les nombres a + b.i et a − b.i tels que a + b est un nombre premier congru à 1 modulo 4
• les nombres premiers congrus à 3 modulo 4