Opérateur d'évolution

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Introduction

En mécanique quantique, l'opérateur d'évolution est l'opérateur qui transforme l'état quantique au temps t₀ en l'état quantique au temps t résultant de l'évolution du système sous l'effet de l'opérateur hamiltonien.

Position du problème

On considère un hamiltonien composé de deux termes :

\hat{H} = \hat{H}_{0} + \hat{V} (t)

où la dépendance temporelle est contenu dans $\hat{V} (t)$ .

Quand , le système est complètement connu par ses kets $∣ n ⟩$ propres et ses valeurs propres E_n :

\hat{H}_{0} ∣ n ⟩ = E_{n} ∣ n ⟩

Définition

Cet opérateur est noté U(t,t₀) et on a la relation, qui donne l'état du système au temps t à partir du temps initial t₀ :

∣ ψ (t)⟩ = U (t, t_{0}) ∣ ψ (t_{0})⟩

où

$∣ ψ (t)⟩$ représente le ket au temps t
$∣ ψ (t_{0})⟩$ représente le ket au temps t₀

Pour le bras , on a alors la relation suivante :

⟨ ψ (t) ∣ = ⟨ ψ (t_{0}) ∣ U^{†} (t, t_{0})

Propriétés

L'opérateur a les propriétés suivantes:

C'est un opérateur linéaire
U(t₀,t₀) = 1
U(t₂,t₁)U(t₁,t₀) = U(t₂,t₀)
U(t,t₀) est un opérateur unitaire ( $U^{†} U = U U^{†} = 1$ ).

Les trois premières propriétés sont des conséquences évidentes de l'équation d'évolution du premier ordre. La dernière propriété vient de ce que la probabilité totale doit etre conservée par l'équation d'évolution.

Comme le système est donné par l'équation de Schrödinger, on a :

$i ℏ \frac{\partial}{\partial t} ∣ ψ (t)⟩ = \hat{H} ∣ ψ (t)⟩$ , soit :

i ℏ \frac{\partial U ( t , t _{0} )}{\partial t} = \hat{H} U (t, t_{0})

Dans le cas d'un système quantique dont l'opérateur Hamiltonien $\hat{H}$ est indépendant du temps, l'opérateur d'évolution s'écrit alors :

U (t, t_{0}) = e^{- \frac{i}{ℏ} \hat{H} (t - t_{0})}

Pour un système dont le Hamiltonien est dépendant du temps, on peut résoudre par itération l'équation différentielle satisfaite par l'opérateur U. On obtient:

U (t, t_{0}) = 1 - \frac{i}{ℏ} \int_{t_{0}}^{t} \hat{H} (t_{1}) d t_{1} + \frac{i ^{2}}{ℏ ^{2}} \int_{t_{0}}^{t} d t_{1} \int t_{0}^{t_{1}} \hat{H} (t_{1}) \hat{H} (t_{2}) + \dots + \frac{i ^{n}}{ℏ ^{n}} \int t_{0}^{t} d t_{1} \dots \int_{t_{0}}^{t_{n - 1}} d t_{n} \hat{H} (t_{1}) \dots \hat{H} (t_{n})

L'écriture de cette expression peut etre simplifiée en introduisant l'opérateur de produit chronologique tel que:

T (\hat{H} (t_{1}) \dots \hat{H} (t_{n})) = \hat{H} (t_{σ (1)}) \hat{H} (t_{σ (2)}) \dots \hat{H} (t_{σ (n)})

où dans le membre de gauche l'ordre des temps est quelconque, et dans le membre de droite le permutation σ de l'ensemble ${1, \dots, n}$ est telle que : $t_{σ (1)} > t_{σ (2)} > \dots > t_{σ (n)}$ .

On a alors:

U (t, t_{0}) = T exp (- \frac{i}{ℏ} \int_{t_{0}}^{t} d t^{'} \hat{H} (t^{'}))

Cette relation est utilisée en théorie quantique des champs pour la construction des diagrammes de Feynman.

Lien avec les autres représentations

L'opérateur d'évolution permet d'établir l'équivalence entre la représentation de Schroedinger et la représentation de Heisenberg. Dans la représentation de Schrödinger, les opérateurs sont indépendants du temps et les états sont dépendants du temps. Dans la représentation de Heisenberg, les opérateurs sont dépendants du temps et les états indépendants du temps. Le passage d'une représentation à l'autre se fait au moyen de l'opérateur d'évolution :

∣ ψ ⟩_{S} (t) = U (t, 0) ∣ ψ ⟩_{H}

A_{H} (t) = U^{†} (t, 0) A_{S} U (t, 0)

	Représentation :
	Heisenberg	Interaction	Schrödinger
Ket	constant	$∣Ψ (t) ⟩_{I} = U_{0}^{- 1} ∣Ψ (t) ⟩_{S}$	$∣Ψ (t) ⟩_{S} = U ∣Ψ (t_{0}) ⟩_{S}$
Observable	A_H(t) = U A_SU	$A_{I} (t) = U_{0}^{- 1} A_{S} U_{0}$	constant
Opérateur d'évolution	$\hat{H} = \hat{H}_{0} + \hat{V} (t)$	$U (t, t_{0}) = e^{- \frac{i}{ℏ} \hat{H} (t - t_{0})}$ $U_{0} (t, t_{0}) = e^{- \frac{i}{ℏ} \hat{H}_{0} (t - t_{0})}$
Mécanique quantique : Théorème d'Ehrenfest • Équation de Schrödinger • Propagateur

Bibliographie

Albert Messiah, Mécanique quantique
J. L. Basdevant, J. Dalibard, Mécanique quantique
C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique
Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 3 : Mécanique quantique, éd. MIR, Moscou
Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 4 : Électrodynamique quantique, éd. MIR, Moscou
N. M. Bogoliubov et D. V. Shirkov, Introduction à la théorie des champs quantifiés (Dunod)
D. Kastler, Électrodynamique Quantique (Dunod)