Résistance des matériaux

La résistance des matériaux, aussi appelée RDM, est une discipline particulière de la mécanique des milieux continus permettant le calcul des contraintes et déformations dans les structures des différents matériaux (machines, génie mécanique, bâtiment et génie civil).

La RDM permet de ramener l'étude du comportement global d'une structure (relation entre sollicitations — forces ou couples — et déplacements) à celle du comportement local des matériaux la composant (relation entre contraintes et déformations). L'objectif est de concevoir la structure suivant des critères de résistance, de déformation admissible et de coût financier acceptable.

Lorsque l'intensité de la contrainte augmente, il y a d'abord déformation élastique (le matériau reprend sa forme initiale lorsque la sollicitation disparaît), puis déformation plastique (le matériaux ne reprend pas sa forme initiale lorsque la sollicitation disparaît, il subsiste une déformation résiduelle), et enfin rupture (la sollicitation dépasse la résistance intrinsèque du matériau).

Premier cours de Résistance des Matériaux donné par August Wöhler à l'Université de Göttingen en 1842. (sources : voir discussion)

Dans son utilisation courante, la RDM fait appel aux hypothèses suivantes :

Le matériau est :

• élastique (le matériau reprend sa forme initiale après un cycle chargement déchargement),
• linéaire (les déformations sont proportionnelles aux contraintes),
• homogène (le matériau est de même nature dans toute sa masse),
• isotrope (les propriétés du matériau sont identiques dans toutes les directions).

Le problème est :

• en petits déplacements (les déformations de la structure résultant de son chargement sont négligeables et n'affectent pratiquement pas sa géométrie),
• quasi-statique (pas d'effet dynamique),
• quasi-isotherme (pas de changement de température).

L'ingénieur utilise la résistance des matériaux avant tout pour déterminer les dimensions des éléments de construction et vérifier leur résistance et leur déformation. L'un des éléments structurels le plus fréquent est la poutre, c'est-à-dire un objet de grande longueur par rapport à sa section, chargée dans son plan moyen de symétrie.

Sollicitations élémentaires

Deux des dimensions de la poutre sont petites par rapport à la troisième. En d'autres termes les dimensions de la section droite sont petites par rapport à la longueur de la poutre. Ce principe permet d'approximer la poutre par une ligne (droite ou courbe) et des sections droites.

En général, une longueur ou une distance de l'ordre de deux à trois fois la plus grande dimension de la section droite est considérée suffisante pour appliquer le modèle RDM.

Le principe de Saint-Venant précise que le comportement en un point quelconque de la poutre, pourvu que ce point soit suffisamment éloigné des zones d'applications des forces et des liaisons, est indépendant de la façon dont sont appliquées les forces et de la façon dont sont physiquement réalisées les liaisons; le comportement dépend alors uniquement du torseur des forces internes en ce point.

La conséquence est que les contraintes produites par un système de forces dans une section éloignée du point d'application de ces forces ne dépendent que de la résultante générale et du moment résultat du système de forces appliquées à gauche de cette section.

Le modèle RDM n'est plus valide lorsque le principe de Saint Venant n'est pas satisfait, c'est-à-dire à proximité des liaisons, des appuis ou des points d'application des forces. Dans ces cas particuliers, il faut appliquer les principes de la Mécanique des milieux continus.

Le principe de Navier-Bernoulli précise que les sections droites le long de la fibre moyenne restent planes après déformation. Les déformations dues à l'effort tranchant montrent que les sections droites ne peuvent pas rester planes mais subissent un gauchissement. Pour tenir de ce fait l'énoncé de ce principe peut prendre la forme suivante: deux sections droites infiniment voisines deviennent après déformation deux sections gauches superposables par déplacement. Comme ce déplacement est petit, on peut considérer que les allongements ou raccourcissements de tout tronçon de fibre sont des fonctions linéaires des coordonnées de la fibre dans le plan de la section.

La loi de Hooke précise que, dans le domaine élastique du matériau, les déformations sont proportionnelles aux contraintes.

Le principe de superposition permet de décomposer toute sollicitation complexe en une somme de sollicitations élémentaires dont les effets sont ensuite additionnés. Ce principe est directement lié à l'hypothèse de linéarité de la loi de Hooke.

L'équilibre statique d'un système exige que :

• La somme des forces extérieures en tout point est égale au vecteur nul :

$\sum {\vec{F}}_{\text{ext}}=\vec{0}$.

• La somme des moments calculés en tout point est égale au vecteur nul :

$\sum {\vec{M}}_{\text{ext}}=\vec{0}$.

le théorème de Castigliano définit le déplacement du point, lieu d'application d'une force, par la dérivée du potentiel élastique par rapport de cette force.

La terminologie employée suivant la grandeur étudiée dépend du point de vue par rapport à la pièce étudiée.

Les efforts (ou chargement) regroupent les forces [N, kN ou MN] et les moments [Nm, kNm ou MNm]. Les déplacements sont l'ensemble des translations [unités de longueur compatibles avec celles utilisées pour les moments] et des rotations [rad].

Contraintes mécaniques élémentaires

• Loi de Hooke simplifiée à une seule dimension

La contrainte normale σ est proportionnelle à l’allongement relatif $\epsilon$ et un facteur constant E désigné sous le nom de module d'élasticité ou encore module d'Young :

σ s'exprime en Pa ou N/m² et plus souvent en MPa ou N/mm² ;

E est homogène à une contrainte [Pa] ;

$\epsilon$ est sans dimension.

L’allongement relatif $\epsilon$ est le rapport entre longueurs initiale ${\ell }_0$ et finale $\ell$

• Traction / Compression

Cette contrainte est dite contrainte normale due à la force de traction. σ [Pa] est égale à l'intensité de la force F [N] divisée par l'aire S [m²] de la surface normale à cette force :

• critère de contrainte maximale: ${\sigma }_{\text{maxi}}=K_t{\sigma }_{\text{calc}}<R_{pe}=\frac{R_e}{s}$.

R_e : Résistance élastique
K_t : coefficient de concentration. K_t dépend de la géométrie de la poutre (ex: pour une vis à filets triangulaire K_t = 2,5)
$s$ est un coefficient de sécurité (ex: pour les gaines d'un ascenseur s = 12).

• Flexion

Sous l'effet du moment de flexion $M_3$ [N.m], la contrainte de flexion à une distance $x_2$ [m] de la fibre neutre s'exprime en fonction du moment quadratique $I_3$ [m] de la section étudiée par la relation :

avec $I_3={\int }_S{x}_2^{2}dS$ , moment quadratique, qui est habituellement désigné par inertie de la section par rapport à l'axe du moment de flexion.
Pour une section rectangulaire : $I_3=\frac{b{h}^3}{12}$ (b:base, h:hauteur).
Pour une section circulaire : $I_3=\frac{\pi r^4}{4}$.

Le théorème de Huygens permet de calculer le moment quadratique d'une section coupée en plusieurs morceaux:

$I_A=I_G+S{d}^2$ .

• Cisaillement

avec le module de Coulomb [Pa] : $G=\frac{E}{2(1+\nu )}$.

Pour avoir la contrainte tangentielle maximale :

• pour une section rectangulaire :${\tau }_{\text{maxi}}=\frac{3}{2}{\tau }_{\text{moy}}$

• pour une section circulaire :${\tau }_{\text{maxi}}=\frac{4}{3}{\tau }_{\text{moy}}$

• Torsion

Ce qui suit concerne uniquement les poutres à sections circulaires.

$\theta =\frac{M_t}{G{I}_0}$ où $\theta$ est l'angle unitaire de torsion (en rad/m).

Le moment quadrapolaire $I_0$ de la section est donné par : $I_0=\frac{\pi R^4}{2}$.

On peut aussi calculer $\tau$ avec $\tau =\frac{M_{t}R}{I_0}$.

• critère de déformation: $\theta =\frac{M_t}{G{I}_0}<\frac{\pi \times 10^{-3}}{4\times 180}$ (rad/mm) $=\frac{1}{4}$ (°/m)

• critère de contrainte maximale: ${\tau }_{\text{maxi}}=K_t{\tau }_{\text{calc}}<R_{pg}=\frac{R_g}{s}$.

• Étude de la déformation d'une poutre fléchie

On peut obtenir l'allure de la déformée de la poutre en flexion à partir de l'équation différentielle

En intégrant 2 fois, et en déterminant les constantes, il est possible de trouver la forme de la déformée de la poutre en flexion.

Références théoriques

• La contrainte normale σ : contrainte
• L’allongement relatif $\epsilon$ : tenseur des déformations
• Le module d’élasticité longitudinal E ou module de Young : module de Young
• Le module de cisaillement G ou le module d’élasticité tangentiel ou encore module de glissement : module de cisaillement
• Le coefficient de Poisson ν : coefficient de Poisson
• L'inertie I : moment d'inertie

Contraintes mécaniques composées

La poutre est généralement composée d'un matériau isotrope homogène et chargée dans son plan moyen, vertical le plus souvent. Dans ces conditions, l'ensemble des efforts extérieurs appliqué d'un côté d'une section droite quelconque se ramène à :

• un effort longitudinal de compression ou traction : l'effort normal ;
• un effort normal de cisaillement : l'effort tranchant ;
• un moment fléchissant.

Ce sont les éléments de réduction des charges extérieures au droit de la section considérée.

Un cas simple est constitué par une poutre droite, horizontale, de section constante, chargée uniformément et reposant sur deux appuis simples. Si on désigne par p la charge linéaire et par $\ell$ la longueur de la poutre, la détermination des éléments de réduction des efforts tient en quelques formules simples :

• la réaction à chaque appui est une force verticale, égale à la moitié de la charge totale soit $\frac{p\ell }{2}$,
• l'effort tranchant varie linéairement de $+\frac{p\ell }{2}$ à $-\frac{p\ell }{2}$ avec une valeur nulle en milieu de travée. On doit vérifier que la contrainte de cisaillement au voisinage de l'appui reste inférieure à la résistance au cisaillement du matériau,
• Le moment fléchissant est nul sur appui et maximum en milieu de travée où il vaut $\frac{p{\ell }^2}{8}$. On doit vérifier que les contraintes dans la section à mi-travée ne dépassent ni la résistance à la compression, ni la résistance à la traction du matériau.