Théorie quantique des champs

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La théorie quantique des champs (QFT, abréviation du terme anglais Quantum field theory) est l'application des concepts de la physique quantique aux champs. Issue de la mécanique quantique relativiste, dont l'interprétation comme théorie décrivant une seule particule s'était avérée incohérente, cette théorie fournit un cadre conceptuel largement utilisé en physique des particules, en physique de la matière condensée et en physique statistique.

La première théorie quantique des champs à avoir vu le jour, l'électrodynamique quantique, est au XXI siècle une des théories physiques ayant le plus beau succès dans sa confrontation aux résultats expérimentaux dans le cadre du modèle standard, notamment grâce à la concordance de la théorie avec la mesure de haute précision de la constante de structure fine.

Historique

La théorie naît en 1927 avec l'article fondateur de l'électrodynamique quantique par Dirac : La Théorie quantique de l'émission et de l'absorption du rayonnement. Le formalisme est ensuite développé et discuté dans les années 1930 par les théoriciens, ceux-ci se heurtant à un problème récurrent : l'apparition systématique d'infinis lors des calculs de grandeurs physiques censées être mesurables et finies. Cette difficulté ne fut entièrement surmontée qu'en 1948 avec l'invention d'une procédure systématique, la renormalisation, due principalement à Tomonaga, à Schwinger et à Feynman.

Les succès de l'électrodynamique quantique, théorie de jauge abélienne, ont conduit les théoriciens des années 1960 et 1970 à appliquer les concepts de cette théorie aux théories de jauge non abéliennes, donnant finalement naissance à l'actuel modèle standard de la physique des particules.

Par ailleurs, Kadanoff a introduit à la fin des années 1960 l'idée que les transitions de phases décrites par la physique statistique présentaient des propriétés d'universalité et d'invariance d'échelles. Wilson eut alors l'idée d'appliquer les méthodes de renormalisation de la théorie quantique des champs à la description des phénomènes critiques.

Champs quantiques

Notion de champ quantique

La façon dont la théorie des champs fut introduite par Dirac à partir des particules élémentaires est connue pour des raisons historiques sous l'appellation de seconde quantification.

Les champs ne sont pas liés à la dualité onde-corpuscule.

Les particules élémentaires possèdent déjà cette dualité dans l'acceptation du terme de la mécanique classique. Ce que l'on entend par champ est un concept qui permet la création ou l'annihilation de particules en tout point de l'espace. Comme tout système quantique, un champ quantique a un hamiltonien et obéit à l'équation de Schrödinger :

H ∣ ψ (t) ⟩ = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} ∣ ψ (t) ⟩

(En théorie des champs, le formalisme lagrangien est plus facile à utiliser que son équivalent hamiltonien.)

Avec la seconde quantification, l'indiscernabilité des particules s'exprime en termes de nombre d'occupation.

Supposons que N = 3, avec une particule dans l'état φ₁ et deux dans l'état φ₂, alors la fonction d'onde est :

\frac{1}{3} [ϕ_{1} (r_{1}) ϕ_{2} (r_{2}) ϕ_{2} (r_{3}) + ϕ_{2} (r_{1}) ϕ_{1} (r_{2}) ϕ_{2} (r_{3}) + ϕ_{2} (r_{1}) ϕ_{2} (r_{2}) ϕ_{1} (r_{3})]

alors qu'avec la seconde quantification, cette fonction est simplement

∣1, 2, 0, 0, \dots ⟩

Quoique la différence soit minime, la deuxième permet d'exprimer facilement des opérateurs création et annihilation, qui ajoutent ou enlèvent des particules à l'état. Ces opérateurs sont très similaires à ceux définis par un oscillateur harmonique quantique qui, en mécanique quantique, crée ou détruit des quanta d'énergie.

Par exemple, l'opérateur a₂ a l'effet suivant:

a_{2} ∣1, 2, 0, 0, \dots ⟩ \equiv ∣1, 1, 0, 0, \dots ⟩ 2

a_{2} ∣1, 1, 0, 0, \dots ⟩ \equiv ∣1, 0, 0, 0, \dots ⟩

a_{2} ∣1, 0, 0, 0, \dots ⟩ \equiv 0

(Le facteur $2$ normalise la fonction d'onde.)

Enfin, il faut introduire « les opérateurs de champ » de création ou d'annihilation d'une particule en un point de l'espace.

De même que pour une seule particule la fonction d'onde s'exprime avec son moment cinétique, de même les opérateurs de champ peuvent s'exprimer à l'aide des transformées de Fourier.

Par exemple, $ϕ (r) \equiv \sum_{i} e^{i k i \cdot r} a i$ , qu'il ne faut pas confondre avec une fonction d'onde, est l'opérateur de champ d'annihilation de boson.

Les hamiltoniens, en physique des particules, sont écrits comme une somme d'opérateurs création et annihilation de champ :

H = k \sum E_{k} a_{k}^{†} a_{k}

Cela exprime un champ de bosons libres, où E_k est l'énergie cinétique. Cet hamiltonien est utilisé pour décrire des phonons.

Localisation

L'expérimentateur qui enregistre un « clic » dans son détecteur aimerait relier cet événement, qu'il interprète comme la détection d'une « particule » relativement bien localisée dans l'espace (et dans le temps), au champ quantique et à ses excitations, ce qui conduit au problème de la localisation en physique quantique relativiste. Pour certains types de « particules », l'opérateur de position de Newton-Wigner apporte des éléments de réponse.