Opérations sur les dérivées

On peut déterminer la dérivée de n'importe quelle fonction en effectuant des opérations sur les dérivées présentées ici.

Dans tout l'article, I et J seront des intervalles réels.

Les démonstrations de ces propriétés dérivent des opérations sur les limites.

Multiplication par un réel

Soient $f:I\to \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur I et α un réel fixé. Le produit αf est dérivable sur I et :

Somme

Soient $f:I\to \mathbb{R}$ et $g:I\to \mathbb{R}$ deux fonctions dérivables sur I. Leur somme f + g est dérivable sur I et :

Produit

Soient $f:I\to \mathbb{R}$ et $g:I\to \mathbb{R}$ deux fonctions dérivables sur I. Leur produit f**g est dérivable sur I et

Puissance

Soit $f:I\to \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur I. La fonction $f^n,n\in \mathbb{R}$ est dérivable sur I, sa dérivée est donnée par

Inverse

Soit $f:I\to \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur I. L'inverse $\frac{1}{f}$ de f est dérivable sur l'ensemble des $x\in I$ tels que $f(x)\ne 0$ et sa dérivée est donnée par

Quotient

Soient $f:I\to \mathbb{R}$ et $g:I\to \mathbb{R}$ deux fonctions dérivables sur I. Le quotient $\frac{f}{g}$ est dérivable sur l'ensemble des $x\in I$ tels que $g(x)\ne 0$ et sa dérivée est donnée par

Composée

Soient $f:I\to \mathbb{R}$ et $g:J\to \mathbb{R}$ deux fonctions dérivables respectivement sur I et J. On suppose que l'image par f de l'intervalle I est incluse dans J : $f(I)\subset J$.

Alors la fonction composée $g\circ f$ définie par $\forall x\in I,g\circ f(x)=g(f(x))$ est dérivable sur I et :

Bijection réciproque

Soit $f:I\to J$ une fonction bijective dérivable sur I. Alors la fonction réciproque $f^{-1}:J\to I$ est dérivable en tout point $y\in J$ tel que $f^{\prime }(f^{-1}(y))\ne 0$ et pour un tel y :