En mathématiques, la fonction partie entière est la fonction définie de la manière suivante :
Pour tout nombre réel x, la partie entière notée E(x) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.
Par exemple : E(2,3) = 2, E(−2) = −2 et E(−2,3) = −3.
La fonction partie entière est aussi notée (ou par les anglo-saxons).
On a toujours :
avec égalité si et seulement si x est un entier relatif.
Pour tout entier relatif k et et pour tout nombre réel x, on a
L’arrondi à l’entier le plus proche d’un réel x peut être exprimé par E(x + 0,5).
La fonction partie entière n’est pas continue, mais est continue à droite. En fait elle est constante sur tout intervalle de la forme [k, k+1[ et n’est pas continue en les entiers relatifs.
Une autre fonction mathématique du même type est la fonction « plafond » ou partie entière par excès ou partie entière supérieure (ceiling en anglais), définie de la manière suivante :
Pour tout nombre réel x donné, plafond de x noté P(x) est le plus petit entier supérieur ou égal à x.
Par exemple : P(2,3) = 3, P(2) = 2 et P(−2,3) = −2.
La fonction plafond est aussi notée .
Il est facile de montrer que :
et que :
Pour tout entier relatif k, on a aussi l’égalité suivante :
.
Si m et n sont des entiers naturels premiers entre eux alors