Polynôme d'Hermite

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Introduction

En mathématiques, les polynômes d'Hermite sont une suite de polynômes qui ont été nommés ainsi en l'honneur de Charles Hermite. Ils sont définis comme suit :

$H_{n} (x) = (- 1)^{n} e^{x^{2} /2} \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} e^{- x^{2} /2}$ (forme dite probabiliste)

$H_{n} (x) = (- 1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} e^{- x^{2}}$ (forme dite physique)

Les deux définitions ne sont pas tout à fait équivalentes ; les polynômes d'une définition sont en « compression » ou en « expansion » par rapport à l'autre définition.

On peut effectuer le passage d'une forme à l'autre grâce à la relation suivante: $H_{n}^{p h y s} (x) = 2^{n /2} H_{n}^{p r o ba} (2 x)$ .

Les premiers polynômes d'Hermite sont les suivants (forme "probabiliste") :

H_{0} (x) = 1

H_{1} (x) = x

H_{2} (x) = x^{2} - 1

H_{3} (x) = x^{3} - 3 x

H_{4} (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 3

H_{5} (x) = x^{5} - 10 x^{3} + 15 x

H_{6} (x) = x^{6} - 15 x^{4} + 45 x^{2} - 15

on peut en réalité démontrer que le coefficient $x^{p - 2}$ de $H_{p}$ vaut -p(p-1)/4 et que bien sûr le coefficient $x^{p - 1}$ de $H_{p}$ est toujours nul.

Sous leur forme "physique", les premiers polynômes sont:

H_{0} (x) = 1

H_{1} (x) = 2 x

H_{2} (x) = 4 x^{2} - 2

H_{3} (x) = 8 x^{3} - 12 x

H_{4} (x) = 16 x^{4} - 48 x^{2} + 12

H_{5} (x) = 32 x^{5} - 160 x^{3} + 120 x

H_{6} (x) = 64 x^{6} - 480 x^{4} + 720 x^{2} - 120

Orthogonalité

La n-ième fonction de la suite est un polynôme de degré n. Ces polynômes sont orthogonaux pour la mesure

e^{- x^{2} /2} d x,

c'est-à-dire que :

\int_{- \infty}^{+ \infty} H_{n} (x) H_{m} (x) e^{- x^{2} /2} d x = n! 2 π δ_{nm}

où δ_{n m} est le symbole de Kronecker, qui vaut 1 quand n = m et 0 sinon. Ces fonctions forment une base orthogonale d'un espace de Hilbert où les fonctions satisfont la propriété suivante :

\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ f (x) ∣^{2} e^{- x^{2} /2} d x < + \infty,

dans laquelle le produit scalaire est donné par l'intégrale

⟨ f, g ⟩ = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) \overline{g (x)} e^{- x^{2} /2} d x .

Diverses propriétés

Le n-ième polynôme d'Hermite satisfait l'équation différentielle suivante :

H_{n}^{''} (x) - 2 x H_{n}^{'} (x) + 2 n H_{n} (x) = 0.

On a aussi la suite récurrente suivante :

H_{n + 1} (x) - x H_{n} = - (n (n - 1) /4) H_{n - 2} (x) .

Les polynômes satisfont la propriété

H_{n}^{'} (x) = n H_{n - 1} (x),

que l'on peut écrire ainsi

H_{n} (x + y) = k = 0 \sum n (k n) x^{k} H_{n - k} (y)