Symbole de Kronecker

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Introduction

En mathématiques, le symbole de Kronecker est une fonction de deux variables qui est égale à 1 si celles-ci sont égales, et 0 sinon. Il est symbolisé par la lettre δ (delta minuscule) de l'alphabet grec, et est considéré comme une convention d'écriture plutôt que comme une fonction.

δ_{ij} = δ_{i}^{j} = δ^{ij} = {10 si i = j si i \neq = j

Ou, en notation tensorielle :

δ_{i}^{j} = δ_{i} \cdot δ^{j}

où δ et δ_j sont des vecteurs unitaires tels que seule la i-ème (respectivement la j-ème) coordonnée soit non nulle (et vaille donc 1).

Ce symbole a été nommé en l'honneur du mathématicien Léopold Kronecker (1823 - 1891).

Il est utilisé dans de nombreux domaines mathématiques. Par exemple en algèbre linéaire, la matrice identité d'ordre 3 peut s'écrire :

(δ_{ij})_{(i, j) \in {1, 2, 3}^{2}} = (100010001)

Symbole de Kronecker et sommations

Lors de sommation, le symbole de Kronecker provoque de spectaculaires simplifications :

k = 1 \sum n a_{k} δ_{k, i} = a_{i}