Polynôme de Hurwitz

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Introduction

Un polynôme à coefficients réels, de degré n, est appelé polynôme de Hurwitz si ses n racines complexes sont toutes à partie réelle négative.

On montre aisément que nécessairement, tous les coefficients du polynôme sont de même signe, et donc sans restreindre la généralité, on prend le terme constant T₀ égal à 1 en physique.

Résultats pour n<5

n=2 : pas d'autre condition (évident pour un physicien habitué au circuit RLC).

n=3 : rajouter : ET T₂.T₁ − T₃.T₀ > 0

n=4 : rajouter : ET $T_{2} . T_{1} - T_{3} . T_{0} > T_{4} . T_{1}^{2} / T_{3}$

Remarque : pour un physicien, les coefficientsT_n sont des constantes de temps à la puissance n. Il pourra aisément contrôler l'homogénéité des formules.

Le cas n = 3 se retient aisément par des considérations énergétiques (voir l'article filtre électrique linéaire).

Le cas n=4 se retient mnémotechniquement aisément grâce au cas n=3 : effectivement si T4 est quasi-nul, on devait retrouver n=3 . Par contre, il faut connaître la situation de 2 oscillateurs couplés avec injection de puissance, pour intuiter aisément l'inéquation T₂.T₁ / T₃.T₀ > 1 + k.(T₄ / T₀).(T₁ / T₃), k=1 .

Au-delà, il vaut mieux traiter la question par l'algorithme des tableaux de Routh. Néanmoins, une remarque de pertinence : si P(x) est de Hurwitz, x^n .P(1/x) est de Hurwitz : les conditions sont donc « symétriques » sur les coefficients.

Par exemple, le cas n= 5 se retient assez aisément: il y a deux inégalités:

A: = (T₄.T₃ − T₅.T₂) > 0

évidemment et

B − A.C < 0

avec B: = (T₄.T₁ − T₅.T₀)

C: = (T₂.T₁ − T₃.T₀)

Un théorème facile

Soit P(x) le polynôme, de degré n, dont on veut savoir s'il est polynôme de Hurwitz ; et soit Q(x) le polynôme de degré (élevé !) n(n-1)/2 dont les racines sont les sommes deux à deux des racines de P(x).

Pour que P(x) soit de Hurwitz , il faut que tous les coefficients de Q(x) soient positifs.

Démonstration : la condition est nécessaire ; en effet, les parties réelles des n(n-1)/2 racines de Q(x) sont négatives ; et en regroupant les racines conjuguées, le résultat apparaît.

La condition n'est pas suffisante : en effet, si P(x) = (x − 1)(x + 2) on a Q(x) = (x + 4)(x + 1).Donc tous les coefficient de Q sont positifs mais P n'est pas stable car il a un zéro positif.

En revanche on a le résultat suivant: P(x) est de Hurwitz si et seulement si P et Q ont tous deux leurs coefficients positifs.

Démonstration: la condition nécessaire est établie au-dessus. Pour la condition suffisante, il suffit de remarquer que puisque les coefficients de P sont positifs, P n'a pas de racine réelle positive. S'il avait une racine imaginaire à partie réelle ≥ 0, alors la somme de cette racine avec sa conjuguée donne une racine réelle ≥0 de Q, ce qui est impossible puisque Q est à coefficients positifs.

A l'aide de ce critère, on retrouve facilement les conditions de Routh-Hurwitz pour n = 3.

Cas général : les tableaux de Routh et critère de Routh-Hurwitz

Le tableau de Routh est un critère de stabilité utilisé en automatique. Il permet de déterminer, au regard du dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée, si le système bouclé, représenté par cette fonction, est stable ou non (cf stabilité EBSB).

Soit s la variable de la fonction de transfert. Le dénominateur s'écrit sous la forme d'un polynôme en s :

a_ns + a_{n − 1}s + ... + a₀

Condition nécessaire :
Tous les coefficients a_i doivent être non nuls
Tous les coefficients a_i doivent être de même signe

Rem : autre manière de dire : ao = 1 et tous les coefficients strictement positifs.

Si ces 2 conditions ne sont pas réunies, le système est instable.

Pour déterminer en plus la condition suffisante, il nous faut dresser le tableau de Routh.

La 1e ligne du tableau, indexée par s, comporte les coefficients a_n, a_{n − 2},....

La 2e ligne du tableau, indexée par s, comporte les coefficients a_{n − 1}, a_{n − 3},...

Puis pour les autres lignes, on complète de la manière suivante :

1e colonne de la 3e ligne : $b_{n - 2} = \frac{- 1}{a _{n - 1}} a_{n} a_{n - 2} a_{n - 1} a_{n - 3}$

2e colonne de la 3e ligne : $b_{n - 4} = \frac{- 1}{a _{n - 1}} a_{n} a_{n - 4} a_{n - 1} a_{n - 5}$

ect.... (si on ne peut pas compléter une case, on y met un zéro)

ce qui nous donne le tableau suivant :

s	a_n	a_{n − 2}	a_{n − 4}
s	a_{n − 1}	a_{n − 3}	a_{n − 5}
s	$b_{n - 2} = \frac{- 1}{a _{n - 1}} a_{n} a_{n - 2} a_{n - 1} a_{n - 3}$	$b_{n - 4} = \frac{- 1}{a _{n - 1}} a_{n} a_{n - 4} a_{n - 1} a_{n - 5}$	...
s	$\frac{- 1}{b _{n - 2}} a_{n - 1} a_{n - 3} b_{n - 2} b_{n - 4}$	...	...

Condition nécessaire et suffisante :

Si tous les coefficients de la 1re colonne du tableau sont tous non nuls et de même signe, alors le système bouclé est stable.

Remarque : la condition nécessaire et suffisante de stabilité pour un système du 2e ordre est que tous les coefficents soient de même signe (on obtient simplement ce résultat en appliquant le critère de Routh).

Exemple : a**f''(t) + b**f(t) = 0 avec a > 0

si b > 0 alors les coefficents sont de même signe donc le système est stable. En effet, la solution f(t) est : $f (t) = A cos (\frac{b}{a} t + ϕ)$

f(t) est alors bornée comme l'entrée (ici 0) donc le système est stable.

si b < 0, le système est instable. En effet, la solution est : $f (t) = A exp \frac{b}{a} t + B exp (- \frac{b}{a} t)$

qui diverge lorsque t tend vers l'infini.

Intérêt pour la physique

La stabilité d'un système d'oscillateurs linéaires est liée à celle de son polynôme caractéristique, à coefficients réels positifs. Idem pour les filtres électriques linéaires.

Pour qu'un système soit stable, il faut que son polynôme caractéristique ait toutes ses racines à partie réelle négative. Cela revient à dire que ce polynôme est un polynôme de Hurwitz. Il importe donc de trouver les conditions à réaliser par les coefficients pour qu'il en soit ainsi.

Ce problème naît avec acuité dès qu'un moteur injecte une puissance au système, donc avec le développement de la machine à vapeur, et plus particulièrement du régulateur de James Watt (1736-1819). Sa solution va mobiliser l'élite des mathématiciens du XIX siècle : Charles Sturm (1803-1855), Cauchy (1789-1857), Hurwitz (1859-1919), etc.

Bibliographie

Benidir et Barrett, Stabilité des filtres et des systèmes linéaires, Dunod (1999), ISBN 2 10 004432 X :256p, plutôt mathématique, niveau maîtrise, il complète un article d'histoire des sciences :
M. Barret, Historique depuis Cauchy jusqu'à Fujiwara des solutions au problème de la localisation des zéros d'un polynôme dans le plan complexe, Prépublication de l'Institut de recherche mathématique avancée, vol. 22, Strasbourg (1996). Niveau : professeur de mathématiques.