Polynômes de Zernike

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Introduction

Tracés des polynômes de Zernike sur le disque unité.

Les polynômes de Zernike sont une série de polynômes qui sont orthogonaux sur le disque unité. Ils portent le nom de Frits Zernike ; ils jouent un rôle important en optique géométrique.

Définition des polynômes

Les polynômes de Zernike peuvent se décomposer en fonctions paire et impaire. Les fonctions paires sont :

Z_{n}^{m} (ρ, φ) = R_{n}^{m} (ρ) cos (m φ)

et les fonctions impaires sont :

Z_{n}^{- m} (ρ, φ) = R_{n}^{m} (ρ) sin (m φ),

où m et n sont des nombres entiers naturels non nuls, avec n≥m, φ est l'angle d'azimuth exprimé en radians, et ρ est la distance radiale normalisée. Les polynômes radiaux R_n sont définis tels que :

R_{n}^{m} (ρ) = k = 0 \sum (n - m) /2 \frac{( - 1 ) ^{k} ( n - k )!}{k ! (( n + m ) /2 - k )! (( n - m ) /2 - k )!} ρ^{n - 2 k}

ou

R_{n}^{m} (ρ) = \frac{Γ ( n + 1 ) 2 F 1 ( - \frac{1}{2} ( ∣ m ∣ + n ) , \frac{1}{2} ( ∣ m ∣ - n ) ; - n ; ρ ^{- 2} )}{Γ ( \frac{1}{2} ( 2 + n + m )) Γ ( \frac{1}{2} ( 2 + n - m ))} ρ^{n}

pour n − m pair, et sont égaux à 0 pour n − m impair.

Pour m = 0, le polynôme se réduit à R_n(ρ).

Exemples

Les premiers polynômes de Zernike sont :

R_{0}^{0} (r) = 1

R_{1}^{1} (r) = r

R_{2}^{0} (r) = 2 r^{2} - 1

R_{2}^{2} (r) = r^{2}

R_{3}^{1} (r) = 3 r^{3} - 2 r

R_{3}^{3} (r) = r^{3}

R_{4}^{0} (r) = 6 r^{4} - 6 r^{2} + 1

R_{4}^{2} (r) = 4 r^{4} - 3 r^{2}

R_{4}^{4} (r) = r^{4}

R_{5}^{1} (r) = 10 r^{5} - 12 r^{3} + 3 r

R_{5}^{3} (r) = 5 r^{5} - 4 r^{3}

R_{5}^{5} (r) = r^{5}

R_{6}^{0} (r) = 20 r^{6} - 30 r^{4} + 12 r^{2} - 1

R_{6}^{2} (r) = 15 r^{6} - 20 r^{4} + 6 r^{2}

R_{6}^{4} (r) = 6 r^{6} - 5 r^{4}

R_{6}^{6} (r) = r^{6} .