Produit semi-direct

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Introduction

Dans la théorie des groupes, le produit semi-direct permet de définir un groupe G à partir de deux groupes H et K, et généralise la notion de produit direct.

Produit semi-direct interne

Un groupe G est produit semi-direct interne d'un sous-groupe distingué H par un sous-groupe K si et seulement si l'une des définitions équivalentes suivantes est vérifiée :

H et K sont compléments l'un de l'autre dans G
$H \cap K = {1} et G = H K$
$\forall x \in G, \exists! (x_{1}, x_{2}) \in H \times K / x = x_{1} x_{2}$

(Tout élément de G s'écrit de manière unique comme produit d'un élément de H et d'un élément de K*)*

La restriction à K de la surjection canonique $G \to G / H$ est un isomorphisme entre K et G/H.
La surjection canonique $G \to G / H \to 1$ se scinde par un morphisme s tel que s(G/H)=K.

La décomposition des éléments de G comme produit d'un élément de H et d'un élément de K est d'une certaine façon compatible avec la loi de composition du groupe. Soit en effet

deux éléments de G ainsi décomposés. On a :

g_1g_2 = h_1k_1h_2k_2 = (h_1k_1h_2k_1^{-1})(k_1k_2)\

décomposé en un élément $h_{1} k_{1} h_{2} k_{1}^{- 1}$ de H (on utilise ici le fait que H est distingué), et un élément k₁k₂ de K.

Dans ce cas, le groupe K agit par conjugaison sur H, et le groupe G est donc isomorphe au produit semi-direct externe, c'est-à-dire au groupe défini par le produit cartésien de H par K muni de la loi :

(h_{1}, k_{1}) (h_{2}, k_{2}) = (h_{1} (k_{1} h_{2} k_{1}^{- 1}), k_{1} k_{2})

Pour tout $k \in K$ , l'application

f (k) : H \to H : h \mapsto k h k^{- 1}

est un automorphisme de H. En outre l'application

f : K \to A u t (H) : k \mapsto f (k)

est un morphisme de groupes.

Produit semi-direct externe

On est donc amené à poser la définition plus générale suivante. Deux groupes, $H$ et $K$ , et un morphisme $f$ de $K$ dans le groupe $A u t (H)$ des automorphismes de $H$ , étant donnés, on peut définir le produit semi-direct externe $G$ de $H$ et $K$ suivant $f$ comme le produit cartésien de $H$ et $K$ muni de la loi de groupe :

(h_{1}, k_{1}) (h_{2}, k_{2}) = (h_{1} f (k_{1}) (h_{2}), k_{1} k_{2})

où l'inverse d'un élément $(h, k)$ est $(f (k^{- 1}) (h^{- 1}), k^{- 1})$ .

On peut injecter $H$ dans $G$ par l'application $h \mapsto (h, e_{K})$ , et injecter $K$ dans $G$ par l'application $k \mapsto (e_{H}, k)$ . On vérifie alors que $G$ est le produit semi-direct interne de $H$ par $K$ au sens donné en début d'article. On vérifie également que l'automorphisme $f (k)$ est l'automorphisme de conjugaison par $k$ . On note :

$G = H ⋊_{f} K$ ou tout simplement $G = H \times_{f} K$

Le cas où $f$ est le morphisme trivial de groupe (ie f(k₁)(h₂) = h₂ ) correspond au produit direct.

Exemples

Le groupe diédral D_n peut par exemple être considéré comme produit semi-direct d'un groupe cyclique C_n d'ordre n par un groupe cyclique C₂ d'ordre 2, où l'unité de C₂ agit sur C_n comme l'application identique et l'autre élément de C₂ agit sur C_n par inversion. Explicitement:

$si C_{n} =< x >, C_{2} =< y > alors f (1) (x^{k}) = x^{k}, f (y) (x^{k}) = x^{- k} \forall k \in {0, 1, 2, ..., n - 1}$ .

Géométriquement, le groupe C_n est engendré par une rotation, le groupe C₂ par une réflexion.

Le groupe des isométries affines est le produit semi-direct du groupe des translations par le groupe des isométries laissant invariant un point donné.
Le groupe symétrique est le produit semi-direct du groupe alterné par le groupe engendré par une transposition.
Le groupe linéaire sur un corps E est le produit semi-direct du groupe spécial linéaire (des endomorphismes de déterminant 1) par le groupe des éléments inversibles E de E.