Groupe diédral

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Introduction

En mathématiques, le groupe diédral noté D_n, pour $n \geq 2$ , ou parfois D_2n, est un groupe d'ordre 2n qui s'interprète notamment comme le groupe des isométries du plan conservant un polygone régulier à n côtés. Le groupe est constitué de n éléments correspondant aux rotations et n autres correspondant aux réflexions. Le groupe D₁ est le groupe cyclique d'ordre 2, noté C₂ ; le groupe D₂ est le groupe de Klein à quatre éléments. Parmi les groupes diédraux D_n, ce sont les deux seuls à être abéliens.

Présentation et définitions équivalentes

Le groupe D_n peut être défini par la suite exacte scindée suivante :

1 \to C_{n} \to D_{n} \to C_{2} \to 1

où C_n est un groupe cyclique d'ordre n, C₂ est cyclique d'ordre 2, la section étant donnée par l'action d'un relevé σ du générateur de C₂, sur un générateur τ du groupe cyclique d'ordre n :

στσ = τ

Ce groupe est donc produit semi-direct de C_n par C₂ suivant le morphisme ψ, où l'unité de C₂ agit sur C_n comme l'application identique et l'autre élément de C₂ agit sur C_n par inversion. Explicitement:

$si C_{n} = ⟨ τ ⟩, C_{2} = ⟨ σ ⟩ alors ψ (1) (τ^{k}) = τ^{k}, ψ (σ) (τ^{k}) = τ^{- k} \forall k \in {0, 1, 2, ..., n - 1}$ .

Une présentation est alors :

⟨ σ, τ ∣ σ^{2}, τ^{n}, σ τ σ^{- 1} τ ⟩

On peut ainsi dresser une liste complète des éléments du groupe :

1, τ, τ^{2}, \dots, τ^{n - 1}, σ, σ τ, σ τ^{2}, \dots, σ τ^{n - 1}

Une présentation alternative, où μ = τσ dans le système de générateurs de la présentation précédente, est :

⟨ σ, μ ∣ σ^{2}, μ^{2}, (μ σ)^{n} ⟩

On voit ainsi que le groupe diédral admet un système de deux générateurs distincts tous deux d'ordre 2. Les groupes diédraux sont les seuls groupes finis possédant cette propriété.

Le groupe diédral d'ordre 2n peut aussi être vu comme le groupe d'automorphisme du graphe constitué seulement d'un cycle avec n sommets (si n ≥ 3).

Interprétation géométrique

On peut définir de la façon suivante une représentation du groupe diédral D_n :

φ : D_{n} \to GL_{2} (R)

avec $φ (τ) = (cos \frac{2 π}{n} - sin \frac{2 π}{n} sin \frac{2 π}{n} cos \frac{2 π}{n})$ et $φ (σ) = (100 - 1)$ . Cette représentation est en fait à valeurs dans le groupe $O_{2} (R)$ .

On reconnaît que la matrice φ(τ) est une matrice de rotation d'angle $\frac{2 π}{n}$ , et la matrice φ(σ) une matrice de réflexion. Ces transformations laissent effectivement invariant le polygone régulier centré en l'origine à n côtés.

Graphe de cycle

Les graphes de cycles de groupes diédraux sont constitués d'un cycle à n éléments et de cycles à 2 éléments. Le sommet sombre dans les graphes de cycle ci-dessous de divers groupes diédraux représente l'élément identité, et les autres sommets sont les autres éléments du groupe. Un cycle est constitué des puissances successives de l'un ou l'autre élément connecté à l'élément identité.


D₂	D₃	D₄	D₅	D₆	D₇

Propriétés

Le sous-ensemble des rotations ${1, τ, τ^{2}, \dots, τ^{n - 1}}$ est un sous-groupe normal.

Certaines propriétés des groupes diédraux D_n avec n ≥ 3 dépendent de la parité de n. Elles peuvent souvent facilement être déduites de la représentation géométrique de ce groupe.

Le centre de D_n est constitué seulement de l'identité si n est impair, mais si n est pair le centre a deux éléments : l'identité et l'élément τ.
Pour n impair, le groupe D_2n est isomorphe au produit direct de D_n et d'un groupe cyclique d'ordre 2. Cet isomorphisme est donné par :

σ^{h} τ^{k + ϵ n} \mapsto (σ^{h} τ^{k}, ϵ)

où D_2n est l'ensemble de départ D_n*C₂ celui d'arrivée, h et ε étant définis modulo 2, et k modulo n. Les générateurs des groupes diédraux sont choisis comme dans la première partie de l'article.

Toutes les réflexions sont conjuguées les unes les autres dans le cas où n est impair, mais elles sont contenues dans deux classes de conjugaison si n est pair.
Si m divise n, alors D_n a n / m sous-groupes de type D_m, et un sous-groupe cyclique C_m. Par conséquent, le nombre total de sous-groupes de D_n (n ≥ 1), est égal à d (n) + σ (n), où d (n) est le nombre de diviseurs positifs de n et σ (n) est la somme des diviseurs positifs de n (voir liste des petits groupes pour les cas n ≤ 8)

Représentations

Si n est impair, le groupe D_n admet 2 représentations irréductibles complexes de degré 1 :

σ \mapsto (- 1)^{k} τ \mapsto 1 k \in {0, 1}

En revanche, si n est pair, il existe 4 représentations irréductibles de degré 1 :

σ \mapsto (- 1)^{k} τ \mapsto (- 1)^{h} k \in {0, 1} h \in {0, 1}

Les autres représentations irréductibles sont toutes de degré 2 ; elles sont en nombre $\frac{n - 1}{2}$ si n est impair, respectivement $\frac{n}{2} - 1$ si n est pair. On peut les définir comme suit :

τ \mapsto (ω^{h} 00 ω^{- h}) et σ \mapsto (0 - 1 - 1 0)

où ω désigne une racine primitive n de l'unité, et h parcourt les entiers compris entre 1 et n-1. On peut vérifier que deux telles représentations sont isomorphes seulement pour h₁ et h₂ vérifiant h₁+h₂=n. On obtient alors le nombre annoncé de représentations irréductibles de degré 2 non isomorphes, et donc toutes les représentations irréductible du groupe diédral, par la formule liant le nombre de représentations irréductibles à l'ordre du groupe.

Groupe diédral infini

En plus des groupes diédraux finis, on trouve le groupe diédral infini D_∞.

Tout groupe diédral est généré par une rotation r et une réflexion. Si la rotation est un multiple rationnel d’une rotation totale, alors il existe un entier n tel que r soit l’identité, et on est en présence d’un groupe diédral fini d’ordre 2n. Mais si la rotation n’est pas un multiple rationnel d’une rotation totale, alors il n’existe pas de tel n et le groupe résultant a un nombre infini d’éléments ; on le note D_∞. Il admet pour présentation

⟨ r, f ∣ f^{2} = 1, f r f = r^{- 1} ⟩

⟨ x, y ∣ x^{2} = y^{2} = 1 ⟩

et est isomorphe au produit semi-direct de Z par C₂, ainsi qu’au produit libre C₂ * C₂. Il s’agit de l’automorphisme de groupes du graphe constitué d’un chemin infini vers les deux extrémités. De façon équivalente, il s’agit du groupe des isométries de Z.

Groupe diédral généralisé

Pour tout groupe abélien H, le groupe diédral généralisé de H, noté Dih(H), est le produit semi-direct de H par C₂, l'action de C₂ sur H étant l'inversion, i.e.

Dih (H) = H ⋊_{φ} C_{2},

où φ(0) est l'application identité et φ(1) l'inversion des éléments.

On obtient ainsi, si H et C₂ sont tous deux notés additivement :

(h₁, 0) * (h₂, t₂) = (h₁ + h₂, t₂)

(h₁, 1) * (h₂, t₂) = (h₁ − h₂, 1 + t₂)

pour tous h₁, h₂ dans H et t₂ dans C₂.

(Si C₂ est noté multiplicativement, ces deux formules se résument en (h₁, t₁) * (h₂, t₂) = (h₁ + t₁h₂, t₁t₂) .)

Le sous-groupe de Dih(H) constitué des éléments de la forme (h, 0) est un sous-groupe normal d'indice 2, isomorphe à H. Quant aux éléments de la forme (h, 1), chacun est son propre inverse.

Les classes de conjugaison sont

les ensembles {(h,0 ), (−h,0 )}
les ensembles {(h + k + k, 1) | k dans H }

Ainsi, pour tout sous-groupe M de H, les éléments correspondants (m,0) forment aussi un sous-groupe normal de Dih(H) isomorphe à M, et l'on a :

Dih(H) / M = Dih ( H / M )

Exemples :

D_n = Dih(C_n).
Si n est pair il y a deux ensembles de la forme {(h + k + k, 1) | k dans H }, et chacun d'eux engendre un sous-groupe normal isomorphe à D_n/2. Ce sont deux sous-groupes du groupe des isométries d'un n-gone régulier, isomorphes mais distincts : tous deux contiennent les mêmes rotations, mais dans l'un des deux sous-groupes, chaque réflexion fixe deux des sommets, tandis que dans l'autre, les réflexions ne fixent aucun sommet.
Si n est impair il n'y a qu'un ensemble de la forme {(h + k + k, 1) | k dans H }.
D_∞ = Dih(Z) ; il y a deux ensembles de la forme {(h + k + k, 1) | k dans H }, et chacun d'eux engendre un sous-groupe isomorphe à D_∞. Ce sont deux sous-groupes du groupe des isométries de Z, isomorphes mais distincts : tous deux contiennent les mêmes translations (par les entiers pairs), mais dans l'un des deux sous-groupes, chaque réflexion a un point fixe entier (son centre), tandis que dans l'autre, les réflexions sont sans point fixe entier (leurs centres sont des demi-entiers).
Dih(S) est isomorphe au groupe orthogonal O(2,R) des isométries du plan euclidien qui fixent l'origine ou de façon équivalente, au groupe des isométries du cercle. Les rotations forment le groupe SO(2,R), isomorphe au groupe additif R/Z, et également isomorphe au groupe multiplicatif S égal au cercle unité (constitué des nombres complexes de module 1). Dans ce dernier cas, l'une des réflexions (qui, avec les rotations, engendre tout le groupe), est la conjugaison complexe. Les sous-groupes normaux propres ne contiennent que des rotations. Les sous-groupes normaux discrets sont, pour chaque entier n, un sous-groupe cyclique d'ordre n, et les quotients sont isomorphes au même groupe Dih(S).
Dih(R ) est le groupe des translations et symétries centrales de R (qui, si n > 1 n'épuisent pas toutes les isométries).
Dih(H) pour n'importe quel sous-groupe de R, par exemple un groupe discret ; dans ce cas, s'il agit dans les n directions, c'est un réseau.
Les sous-groupes discrets de Dih(R ) qui contiennent des translations dans une seule direction sont les groupes de frise de types ∞∞ et 22∞.
Ceux qui contiennent des translations dans deux directions sont les groupes de papier peint (en) de types p1 et p2.
Les sous-groupes discrets de Dih(R ) qui contiennent des translations dans trois directions sont les groupes d'espace de systèmes réticulaires tricliniques.

Dih(H) est abélien si et seulement si le produit semi-direct est direct, c'est-à-dire si et seulement si chaque élément de H est son propre inverse, i.e. H est un 2-groupe abélien élémentaire : Dih(C₂) = C₂.

Bibliographie

Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis
Algèbre générale, Bernard Charles et denis Allouch, PUF, Paris 1984