Propriété universelle

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Introduction

En mathématiques, une propriété universelle est la propriété des objets qui sont la solution d'un problème universel posé par un foncteur.

Propriété universelle : définition

Soit $F$ un foncteur d'une catégorie $C$ dans la catégorie des ensembles ; un couple $(A, θ)$ où $A$ est un objet de $C$ et $θ \in F (A)$ est solution du problème posé par $F$ si la propriété suivante, dite universelle, est vérifiée :

Pour tout objet $X$ de $C$ , pour tout $f$ de $F (C)$ il existe un unique morphisme $g : A ⟶ X$ tel que :

F (g) (θ) = f

Le foncteur $F$ est le foncteur associé à la propriété universelle.

Propriété universelle des modules quotients

Soient $M$ et $X$ deux A-modules, soit $N$ un sous-module de $M$ , soit $f : M ⟶ X$ une application A-linéaire.

Alors il existe une unique application $g : \frac{M}{N} ⟶ X$ A-linaire telle que $g \circ π = f$ ssi $N \subset K er f$ , i.e . ssi $f$ est constante sur les classes, avec $π : M ⟶ \frac{M}{N} x \mapsto \overset{x}{ˉ}$ la surjection canonique.

$g$ est l'application déduite de $f$ par passage au quotient ; et on a le diagramme :

M f X π ↓ ↗ g \frac{M}{N}

Propriété universelle de la somme directe externe

Soit A un anneau ; soit $(X_{i})_{i \in I}$ une famille de A-modules, Y un A-module ; soit $(f_{i} : X_{i} ⟶ Y)_{i \in I}$ une famille d'applications linéaires.

Alors il existe une unique application $ϕ : ⨁_{i \in I}^{e x t} X_{i} ⟶ Y$ A-linéaire telle que : $\forall i \in I$ , $ϕ \circ q_{i} = f_{i}$ avec $q_{i} : X_{i} ⟶ \prod_{k \in I} X_{k} x_{i} \mapsto (x_{i} δ_{ik})_{i \in I}$ l'injection canonique.

Propriété universelle des modules libres

Soit M un module libre de base $(e_{i})_{i \in I}$ ; soit Y un autre module, soit $(y_{i})_{i \in I}$ une famille de vecteurs de Y.

Alors il existe une unique application linéaire $f : M ⟶ Y$ telle que $\forall i \in I$ , $f (e_{i}) = y_{i}$

Propriété universelle du produit

Soit $(X_{i})_{i \in I}$ une famille de A-modules ; soit $M$ un A-module ; soit $(f_{i} : M ⟶ X_{i})_{i \in I}$ une famille d'applications linéaires.

Alors il existe une unique application linéaire $f : M ⟶ \prod_{i \in I} X_{i}$ telle que $p_{i} \circ f = f_{i}$

avec $p_{i} : \prod_{k \in I} X_{k} ⟶ X_{i} (x_{k})_{k \in I} \mapsto x_{i}$ l'i-ème projection canonique.

On a donc le diagramme suivant :

M ⟶ X_{i} f ↘↑ p_{i} \prod_{i \in I} X_{i}

Propriété universelle des anneaux de fractions

A

S

A

X

f : A ⟶ X

\forall s \in S, f (s)

\sim

A \times S

(a, s) \times (b, t) \leftrightarrow \exists u \in S, u (a t - b s) = 0

Soit un anneau commutatif ; soit une partie multiplicative de ; soit un anneau commutatif, et un morphisme d'anneau tel que : inversible. On définit la relation d'équivalence sur par .

Alors il existe un unique morphisme $g : \frac{A \times S}{\sim} ⟶ X$ tel que $g \circ θ = f$ , avec $θ : A ⟶ \frac{A \times S}{\sim} a \mapsto \overline{(a, 1_{A})}$ On a le diagramme suivant :

A f X θ ↓ ↗ g \frac{A \times S}{\sim}

Propriété universelle des corps des fractions

Cette propriété universelle est un cas particulier de la propriété universelle des anneaux de fractions

A

A^{*}

A

X

f : A ⟶ X

\sim

A \times A^{*}

(a, s) \times (b, t) \leftrightarrow (a t - b s) = 0

Soit un anneau commutatif intègre; soit l'ensemble des éléments non nulls de ; soit un anneau commutatif, et un morphisme d'anneau. On définit la relation d'équivalence sur par .

Alors il existe un unique morphisme $g : \frac{A \times A ^{*}}{\sim} ⟶ X$ tel que $g \circ θ = f$ .

$\frac{A \times A ^{*}}{\sim}$ est un corps.

Propriété universelle des algèbres

Soient $R$ un corps, $A$ une R-algèbre, $I$ un idéal bilatère de $A$ , $B$ une R-algèbre. Soit $f : A ⟶ B$ un morphisme d'algèbre tel que $I \subset k er f$ .

Alors il existe un unique morphisme d'algèbre $g : \frac{A}{I} ⟶ B$ tel que $g \circ π = f$ avec $π$ la surjection canonique.

Propriété universelle des groupes quotients

Cette propriété est similaire à celle des modules quotients.

Soient $G$ et $F$ deux groupes, soit $H ◃ G$ Soit $f : G ⟶ F$ un morphisme de groupes tel que $H \subset k er f$ .

Alors il existe un unique morphisme de groupe $\overset{ˉ}{f} : \frac{G}{H} ⟶ F$ tel que $f = \overset{ˉ}{f} \circ π$ avec $π$ la surjection cannonique.

La démonstration de cette propriété est semblable à celle de la propriété universelle des modules quotients, sauf qu'on suppose dans les prémisses que $f$ est constante sur les classes. Par ailleurs, on introduit la normalité de $H$ dans $G$ pour ne pas avoir à énoncer la propriété pour le groupe quotient à gauche et pour le groupe quotient à droite.