Idéal

En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde l'étude de la divisibilité pour les entiers. Il est ainsi possible d'énoncer des versions très générales de théorèmes d'arithmétique tels que le théorème des restes chinois ou le théorème fondamental de l'arithmétique, valables pour les idéaux. On peut aussi comparer cette notion à celle de sous-groupe distingué pour la structure algébrique de groupe en ce sens qu'elle permet de définir la notion d'anneau quotient.

La théorie des idéaux est relativement récente puisque elle fut créée par Richard Dedekind vers la fin du XIX siècle. À cette époque, une partie de la communauté mathématique s'intéresse aux nombres algébriques et plus particulièrement aux entiers algébriques.

La question est de savoir si les entiers algébriques se comportaient comme les entiers relatifs, en particulier la décomposition en facteurs premiers de manière unique. Il semblait bien, dès le début du XIX siècle, que cela n'était pas toujours le cas : 6 par exemple pouvant se décomposer dans l'anneau $\mathbb{Z}[i\sqrt{5}]$ sous la forme $2\times 3$ ou sous la forme $(1+i\sqrt{5})(1-i\sqrt{5})$

Ernst Kummer pressent alors que cela va dépendre des nombres en question et invente la notion de nombres complexes idéaux.

L'idée est de rendre unique la décomposition en facteurs premiers en ajoutant artificiellement d'autres nombres (de la même manière qu'on ajoute i aux nombres réels tel que i = − 1 afin de disposer de nombres aux carrés négatifs). Dans l'exemple ci-dessus, on va "inventer" quatre nombres "idéaux" a, b, c et d tels que :

Ainsi, 6 se décomposera alors de manière unique en :

C'est Dedekind en 1871 qui reprend la notion de nombre idéal de Kummer et qui crée la notion d'idéal dans un anneau. Il s'intéresse principalement aux anneaux d'entiers algébriques, c'est-à-dire à des anneaux commutatifs, unitaires et intègres. C'est dans ce domaine que se trouvent les résultats les plus intéressants sur les idéaux. Il crée sur l'ensemble des idéaux d'un anneau commutatif, unitaire et intègre des opérations semblables à l'addition et la multiplication dans les entiers relatifs.

La théorie des idéaux a permis une avancée significative dans l'algèbre générale, mais aussi dans l'étude des courbes algébriques (géométrie algébrique).

Une partie I d'un anneau A est un idéal à gauche de A si :

• I est un sous-groupe additif de A.
• $\forall (a,x)\in A\times I:a\times x\in I$ Le produit, à gauche, d'un élément de I par un élément de A appartient à I.

et est un idéal à droite de A si :

• I est un sous-groupe additif de A.
• $\forall (x,a)\in I\times A:x\times a\in I$ Le produit, à droite, d'un élément de I par un élément de A appartient à I.

Un idéal bilatère est un idéal à gauche et à droite. Dans un anneau commutatif, les notions d'idéal à droite, d'idéal à gauche et d'idéal bilatère se confondent et on parle alors simplement d'idéal.

Exemples:

• Pour tout entier relatif k, $k\mathbb{Z}$ est un idéal de $\mathbb{Z}$.
• Si A est un anneau, {0} et A sont des idéaux triviaux de A. Ces idéaux sont sans intérêt, c'est la raison pour laquelle on appellera idéal propre un idéal différent de A.
• Si A est un anneau unitaire et si I est un idéal contenant 1 alors I = A. Plus généralement, si I contient un élément inversible alors I = A
• Les seuls idéaux dans un corps K sont les idéaux triviaux ; c'est pourquoi le domaine d'application des idéaux est la divisibilité dans un anneau.

Un idéal joue, pour les anneaux, le même rôle que les sous-groupes normaux pour les groupes.

• Soit A et B deux anneaux et φ un morphisme de A dans B, alors le noyau de φ est un idéal bilatère.

• Soit A un anneau et I un idéal bilatère de A, alors le groupe quotient A/I peut être muni d'une unique structure d'anneau telle que la surjection canonique de A dans A/I soit un morphisme d'anneaux. Cf. section ci-dessous.

• Soit A et B deux anneaux, φ un morphisme d'anneau de A dans B. Notons s l'application canonique de A dans l'anneau quotient A/I et i le morphisme de φ(A) dans B qui à b associe b. Alors, i est une injection, s une surjection et il existe une bijection b tel que :

• Soit A et B deux anneaux et $\phi$ un morphisme d'anneau de A dans B. Alors:
• Si J est un idéal bilatère de B alors ${\phi }^{-1}(J)$ est un idéal bilatère de A. Si, de plus, J est un idéal premier de B, alors ${\phi }^{-1}(J)$ est un idéal premier de A. Il n'y a en revanche pas de résultat analogue pour les idéaux maximaux.
• Si φ est un morphisme d'anneaux surjectif de A dans B, alors pour tout idéal bilatère I de A, φ(I) est un idéal bilatère de B.
• La propriété ci-dessus n'est en général pas vraie si φ n'est pas surjectif. On peut prendre par exemple A=ℤ, B=ℚ et φ l'inclusion canonique. Alors φ(I) n'est un idéal de ℚ que si I est l'idéal nul.

Dans ce qui suit, on suppose que les idéaux considérés sont de même type (par ex. tous bilatères)

Somme : si I et J sont deux idéaux d'un anneau alors l'ensemble $I+J=\{x+y|x\in Iety\in J\}$ est un idéal.

Intersection : une intersection quelconque d'idéaux reste un idéal.

L'ensemble des idéaux de A muni de ces deux opérations forme alors un treillis.

Idéal engendré : la seconde loi permet de mettre en place cette notion. Si P est une partie d'un anneau , on appelle idéal engendré par P l'intersection de tous les idéaux de A contenant P.

Exemples:

• Pour un anneau commutatif A et un élément a de cet anneau, l'idéal engendré par {a} est aA (par exemple l'idéal de $\mathbb{Z}$ engendré par {n} est $n\mathbb{Z}$).
• Pour I et J deux idéaux de A, le sous-ensemble $I\cup J$ de A n'est pas un idéal (sauf exceptions triviales). L'idéal de A engendré par cette partie est I + J.

Produit : si I et J sont deux idéaux bilatères d'un anneau, on appelle produit de I et J l'idéal IJ égal à l'ensemble des sommes finies

où $x_k\in I$ et $y_k\in J$. On a $IJ\subset I\cap J$

Exemple : dans l'anneau $\mathbb{Z}$ , le produit des idéaux $n\mathbb{Z}$ et $p\mathbb{Z}$ est l'idéal $np\mathbb{Z}$ et ce dernier est inclus dans $n\mathbb{Z}\cap p\mathbb{Z}$

Anneau quotient : si I est un idéal bilatère, la relation est une relation d'équivalence compatible avec les deux lois de l'anneau. On peut alors créer, sur l'ensemble des classes une structure d'anneau appelé anneau quotient.

Article détaillé : Anneau quotient

Si I est un idéal d'un anneau commutatif A, on appelle radical de I, noté $\sqrt{I}$ , l'ensemble des éléments x de A tels qu'il existe un entier naturel n pour lequel $x^n\in I$. C'est un idéal de A.

Exemple: $30\mathbb{Z}$ est le radical de $360\mathbb{Z}$

Si A est un anneau commutatif, on a les propriétés suivantes

• $\sqrt{I}\supset I$
• $\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}$
• $\sqrt{IJ}=\sqrt{I\cap J}=\sqrt{I}\cap \sqrt{J}$
• $\sqrt{I+J}=\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$
• Si de plus A est unitaire,
  $$\sqrt{I}=A\iff I=A$$

Idéal maximal : un idéal M est maximal s'il existe exactement deux idéaux contenant M, à savoir A et M lui même, autrement dit si A/M est un corps.

Idéal premier : dans un anneau commutatif unitaire, un idéal I est premier si I est différent de A, et pour tous a et bde A tels que $ab\in I$, on a la propriété que si $a\notin I$ alors $b\in I$. Ainsi, I est premier si et seulement si A/I est intègre.

Idéal irréductible : dans un anneau commutatif unitaire, un idéal I est irréductible s'il ne peut pas s'écrire comme intersection de deux idéaux différents de I.

(Dans un anneau commutatif unitaire, tout idéal maximal est premier et tout idéal premier est irréductible.)

Idéal principal : l'idéal engendré par un élément a de l'anneau est par définition le plus petit idéal contenant a. On le note (a). Un idéal I d'un anneau A est principal s'il existe un élément a de A tel que I=(a).

Un anneau intègre dont tous les idéaux sont principaux est dit anneau principal. Par exemple, $\mathbb{Z}$ ou l'anneau K[X] des polynômes sur un corps K sont des anneaux principaux.

Idéal de type fini : c'est un idéal engendré par un nombre fini d'éléments $t_1,\dots ,t_n$. Donc tout élément de l'idéal s'écrit comme $a_1{t}_1+\dots +a_n{t}_n$ avec des $a_i\in A$ (s'il s'agit d'un idéal à gauche).

Idéal radiciel : un idéal est radiciel s'il est égal à son radical . C'est le cas par exemple de tout idéal premier dans un anneau commutatif unitaire.

Idéal primaire : dans un anneau commutatif unitaire, un idéal I est primaire si pour tous a et b de A tels que $ab\in I$ , si $a\notin I$ alors, il existe un entier naturel n tel que $b^n\in I$.

Idéal décomposable : dans un anneau commutatif unitaire, un idéal est décomposable s'il est l'intersection finie d'idéaux primaires.

Idéal fractionnaire

Si A est un anneau commutatif intègre et si K est son corps des fractions, un idéal fractionnaire de A est une partie de K de la forme dJ où d est un élément non nul de A et J un idéal de A. (Attention à cette appellation trompeuse : un idéal fractionnaire de A n'est en général pas un idéal de A, ni même une partie de A.)

Exemple : si A est l'anneau Z des entiers, son corps des fractions est le corps Q des rationnels. Si n et d sont deux entiers, avec d non nul, l'ensemble (d )(n Z) des rationnels qui peuvent s'écrire $\frac{nk}{d}$ (avec k entier) est un idéal fractionnaire de Z.

Sur l'ensemble des idéaux fractionnaires, on peut définir des intersections, des sommes et des produits. Un idéal fractionnaire I est dit inversible s'il existe un idéal fractionnaire L tel que I.L = A.

Un cas particulier important est celui où A est un anneau d'entiers algébriques d'une extension finie du corps Q. On arrive alors à montrer que l'ensemble des idéaux fractionnaires est un groupe pour l'opération produit. Il est intéressant de considérer le groupe quotient des idéaux fractionnaires modulo les idéaux principaux ; on obtient ainsi une mesure du défaut de principalité, par le groupe des classes d'idéaux. Un théorème affirme que ce groupe est fini.

Idéal d'un treillis

Si T est un treillis, I est un idéal de T ssi I est stable pour la loi $\vee$ et si pour tous éléments x de T et y de I l'élement x $\wedge$ y appartient à J.

Exemple : Si E est un ensemble et $A\subset E$. L'ensemble $\mathcal{P}(A)$ des parties de A est un idéal de $\mathcal{P}(E)$