Propriétés des limites

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Voici une liste des propriétés des limites en calcul différentiel.

Propriété de la fonction constante

x \to a lim b = b

Approche graphique

Le graphique de la fonction f définie par f(x) = b est une droite d'équation y = b, la limite de la fonction est l'ordonnée à l'origine.

Propriété de la fonction f définie par f(x) = x

x \to a lim x = a

Approche graphique

Le graphique de cette fonction est une droite passant par l'origine, d'équation y = x. La limite lorsque x se rapproche de a, correspond à l'ordonnée du point d'abscisse a sur la droite, cette limite vaut donc a.

Propriété de la multiplication par une constante

Si f admet en a une limite finie et si d est une constante réelle alors la fonction $d \times f$ admet une limite en a telle que:

x \to a lim [d \times f (x)] = d \times x \to a lim f (x)

La limite d'une fonction multipliée par une constante est égale à la constante multipliée par la limite de la fonction.

Règle de la somme

Si les fonctions f et g admettent chacune une limite finie en a, alors la fonction f + g admet elle aussi une limite en a telle que:

x \to a lim [f (x) + g (x)] = x \to a lim f (x) + x \to a lim g (x)

La limite d'une somme est égale à la somme des limites.

Règle de la différence

Si les fonctions f et g admettent chacune une limite finie en a, alors la fonction f − g admet elle aussi une limite en a telle que:

x \to a lim [f (x) - g (x)] = x \to a lim f (x) - x \to a lim g (x)

La limite d'une différence est égale à la différence des limites.

Règle du produit

Si les fonctions f et g admettent chacune une limite finie en a, alors la fonction $f \times g$ admet elle aussi une limite en a telle que:

x \to a lim [f (x) g (x)] = [x \to a lim f (x)] [x \to a lim g (x)]

La limite d'un produit est égal au produit des limites.

Règle du quotient

Si la fonction f admet une limite finie en a et si la fonction g admet une limite finie non nulle en a , alors la fonction $\frac{f}{g}$ admet elle aussi une limite en a telle que:

x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{lim _{x \to a} f ( x )}{lim _{x \to a} g ( x )}

La limite d'un quotient est égal au quotient des limites (si le dénominateur n'est pas nul).

Règle des puissances

Si f admet en a une limite finie alors la fonction $x \to [f (x)]^{n}$ admet aussi une limite en a telle que: $lim_{x \to a} [f (x)]^{n} = [lim_{x \to a} f (x)]^{n}$

La limite d'une fonction élevée à la puissance n est égale à la limite de la fonction, élevée à la puissance n.