Quadri-moment

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Introduction

En relativité restreinte, le quadri-moment est une généralisation du moment linéaire tridimensionnel classique à un espace-temps à 4 dimensions. Le moment est un vecteur de l'espace (donc généralement à 3 dimensions); de la même manière, le quadri-moment est un quadrivecteur de l'espace-temps. Le quadri-moment covariant d'une particule avec un moment tridimensionnel $p = (p_{x}, p_{y}, p_{z})$ et d'énergie E est

(p_{0} p_{1} p_{2} p_{3}) = (- E / c p_{x} p_{y} p_{z})

Le quadri-moment est souvent utilisé en calcul relativiste car il s'agit d'un vecteur de Lorentz. Cela permet de lui appliquer (relativement) facilement des Transformations de Lorentz.

Norme de Minkowski: p

En calculant la norme de Minkowski d'un quadri-moment, on obtient un invariant de Lorentz égal (à un facteur égal à la vitesse de la lumière c près) au carré de la masse au repos de la particule:

- ∣ p ∣^{2} = - η^{μν} p_{μ} p_{ν} = \frac{E ^{2}}{c ^{2}} - ∣ p ∣^{2} = m^{2} c^{2}

en utilisant la convention du système international d'unités:

η^{μν} = (- 1 000010000100001)

qui est l'inverse du tenseur métrique en relativité restreinte. Puisque $∣ p ∣^{2}$ est un invariant de Lorentz, sa valeur reste inchangée par transformations de Lorentz, c'est-à-dire par changement de référentiel.

Relation avec la quadrivitesse

Pour une particule dotée de masse, le quadri-moment est donné par la masse au repos fois la quadrivitesse:

p_{μ} = m η_{μν} U^{ν}

où la quadrivitesse est

(U^{0} U^{1} U^{2} U^{3}) = (γ γ v^{x} γ v^{y} γ v^{z})

et $γ = \frac{1}{1 - ( \frac{v}{c} ) ^{2}}$ est le facteur de Lorentz et c est la vitesse de la lumière.

Conservation du quadri-moment

La conservation du quadri-moment dans un référentiel donné implique deux lois de conservations pour des quantité dites classiques:

La quantité totale d'énergie E = - p₀ est invariante.
Le moment linéaire classique tridimensionnel $p$ reste invariant.

On notera au passage que la masse d'un système de particules peut être supérieure à la somme des masses des particules au repos, à cause de l'énergie cinétique . Par exemple, prenons 2 particules de quadri-moment {-5 Gev, 4 Gev/c, 0, 0} et {-5 Gev, -4 Gev/c, 0, 0} ayant chacune une masse au repos de 3 Gev/c mais leur masse totale (soit encore la masse du système) est de 10 Gev/c. Si ces 2 particules entrent en collision et fusionnent, la masse de l'objet ainsi formé est de 10 Gev/c.

Une applicaton pratique en physique des particules de la conservation de la masse au repos permet, à partir des quadri-moments p et p de 2 particules créées par la désintégration d'une particule plus grosse ayant un quadri-moment q, de retrouver la masse de la particule initiale. La conservation du quadrimoment donne q_μ = p_μ + p_μ, et la masse M de la particule initiale est donnée par -|q| = Mc. En mesurant l'énergie et les 3-moments des particules résultantes, on peut calculer la masse au repos du système des 2 particules qui est égal à M. Cette technique est notamment utilisée dans les recherches expériementales sur le boson Z dans les accélérateur de particules.

Si la masse d'un objet ne change pas, le produit scalaire de Minkowski de son quadri-moment et de la quadri-accélération correspondante A est nul. L'accélération est proportionnelle à la dérivée temporelle du moment divisée par la masse de la particule:

p_{μ} A^{μ} = p_{μ} \frac{d}{d t} \frac{η ^{μν} p _{ν}}{m} = \frac{1}{2 m} \frac{d}{d t} ∣ p ∣^{2} = \frac{1}{2 m} \frac{d}{d t} (- m^{2} c^{2}) = 0.

Moment canonique en présence d'un champ électromagnétique

Il est également utile de définir un moment "canonique" (à 4 dimensions), pour des applications en mécanique quantique relativiste: P_μ, qui est la somme du quadri-moment et du produit de la charge électrique avec le potentiel (qui est un vecteur à 4 dimensions):

P_{μ} = p_{μ} + q A_{μ}

où le 4-vecteur potentiel est une combinaison entre le potentiel scalaire et le potentiel vecteur du champ magnétique:

(A_{0} A_{1} A_{2} A_{3}) = (- ϕ A_{x} A_{y} A_{z})