Récurrence transfinie

La récurrence transfinie, appelée aussi sous l'influence anglaise induction transfinie, permet de construire des objets et de démontrer des théorèmes sur des ensembles infinis.

Elle généralise la récurrence ordinaire sur $\mathbb{N}$ en considérant des familles indexées par un ordinal infini quelconque au lieu de se borner au plus petit d'entre eux qu'est $\mathbb{N}$, appelé ω en tant que nombre ordinal.

Une fois acquis le concept d'ordinal, on dispose là d'un outil très commode, que l'on peut utiliser conjointement avec l'axiome du choix à la place du lemme de Zorn, pour faire des constructions conformes à l'intuition et où l'on dispose de renseignements précis pour une étude approfondie.

Comme nous parlerons beaucoup des ordinaux dans cet article il peut être pertinent de rappeler que les ordinaux sont des sortes de nombres, c’est-à-dire que le début de la classe des ordinaux (ceux plus petits que ω) peut être identifié à l'ensemble $\mathbb{N}$ des nombres naturels, et que les relations donnant à $\mathbb{N}$ sa structure (successeur, somme, produit ...) peuvent être étendues à la classe des ordinaux (avec quelques différences importantes, par exemple $1+\omega =\omega \ne \omega +1$).

La récurrence transfinie s'applique à des ensembles ou des classes munis d'une relation de bon ordre.

• Comme tout ensemble muni d'un bon ordre est isomorphe (pour l'ordre) à un et un seul ordinal (où le bon ordre est la relation d'appartenance), nous étudierons essentiellement la récurrence transfinie sur les seuls ordinaux, les résultats étant transposables par isomorphisme.

• L'extension de la méthode à tout ensemble est possible via le théorème de Zermelo, équivalent (modulo ZF) à l'axiome du choix ; il affirme que tout ensemble peut être muni d'un bon ordre.

• L'objectif est de démontrer qu'une certaine propriété vaut pour tout objet d'un domaine considéré.
• En arithmétique on dispose d'un schéma d'axiomes permettant de le faire sur l'ensemble des entiers, voir raisonnement par récurrence.
• En théorie des ensembles c'est un théorème applicable à toute classe bien ordonnée, les ordinaux étant les archétypes d'ensembles bien ordonnés.

Sur la classe des ordinaux

Une classe (propre) est un rassemblement d'ensembles qui ne peut sans contradiction être considérée comme un ensemble, comme la classe V de tous les ensembles. Voir classe. Les ordinaux forment une classe propre (c'est le paradoxe de Burali-Forti), car sinon leur type de bon ordre serait un ordinal plus grand que tous les ordinaux, ce qui est évidemment absurde.

Soit F(x) une formule avec pour seule variable libre x, on a alors :

• Théorème : $\forall \alpha \{On(\alpha )\to [\forall \beta (\beta \in \alpha \to F(\beta ))\to F(\alpha )]\}\to \forall \gamma \{On(\gamma )\to F(\gamma )\}$ (théorème *)

où O**n(α) signifie : α est un ordinal.

• La démonstration se fait de la manière suivante :

Supposons que : $\forall \alpha \{On(\alpha )\to [\forall \beta (\beta \in \alpha \to F(\beta ))\to F(\alpha )]\}$ (prop. 1)

S'il existait un ordinal α tel que F(α) soit fausse, alors il en existerait un plus petit (la classe des ordinaux est elle-même bien ordonnée par la relation d'appartenance) ; soit α₀ cet ordinal. Pour tout ordinal β plus petit que lui, on aura donc F(β) ; ainsi $\beta \in {\alpha }_0\to F(\beta )$ est vrai (car F(β) est vrai ou ${\alpha }_0=0=\varnothing$ et $\beta \in {\alpha }_0$ est faux). Et donc par hypothèse (prop.1) F(α₀) est vrai aussi ; contradiction.

Cela montre que l'hypothèse qu'il existe un ordinal α tel qu'on n'ait pas F(α) est fausse ; par contraposition, il en découle que la prop.1 implique que pour tout ordinal γ, F(γ), ce qu'il fallait démontrer.

Sur un ensemble

On peut voir un ensemble comme une classe qui appartient à une autre classe.

Sur un ensemble bien ordonné

Voir aussi l'article : Ensemble bien ordonné

Un ensemble A muni d'une relation de bon ordre < est une structure (A, < ) où la relation binaire <

• est une relation d'ordre
• telle que tout sous ensemble non vide de A ait un et un seul plus petit élément pour < .

Théorème :

• soit B un sous ensemble de A (ordonné par l'ordre induit],
• si le plus petit élément de A est élément de B
• et si $\forall x\in A\{(\forall y[y<x\to y\in B])\to (x\in B)\}$,
• alors A = B.

Sur un ordinal

On restreint seulement le (théorème *) à un ordinal (ici Ord), ce qui donne :

Soit F(x) une formule avec pour seule variable libre x, et un ordinal Ord on a alors :

Utilisation du théorème

Nous nous restreindrons au cas de la classe des ordinaux :

il faut démontrer (prop. 1) à savoir F(α) en supposant F(β) pour tout β appartenant à α.

En général cette preuve se scinde en 3 cas selon que α est 1. l'ensemble vide 2. un ordinal successeur ou 3. un ordinal limite.

Qu'il faille aussi envisager le cas où α est un ordinal limite constitue la nouveauté dans les utilisations du principe de récurrence qui sont présentés dans l'article raisonnement par récurrence sur les seuls entiers.

Voir aussi le théorème de définissabilité de Beth

Là l'objectif est de définir un objet mathématique par récurrence au delà du fini. Ceci en exhibant une fonction construisant un objet mathématique nouveau à partir d'un autre préalablement défini. Cela passe par la démonstration de l'existence et de l'unicité de la fonction.

Et là encore un théorème dérivé du précédant le permet.

Nous nous restreindrons à ne l'énoncer que pour la classe (mais via valable aussi pour les ensembles) des ordinaux (mais donc aussi généralisable via le théorème de Zermelo à tout ensemble bien ordonné).

Principe de définition par récurrence sur la classe des ordinaux

• Théorème général:

Soit F(x, y, z) une formule avec x, y, z comme variables libres, telle que :

∀x∀y (On (x) et y est une application de domaine x) ⇒ il existe un unique z tq F(x, y, z)

Alors il existe une et une seule fonction g, à paramètres dans On, telle que :

Pour tout ordinal α, g(α) est l'unique ensemble u tel que F[α, g|α, u].

( Où « g|α » signifie « g restreint à α », « On(x) » signifie « x est un ordinal » et « On » désigne la classe des ordinaux. )

• Plus simplement :

Soit V la classe de tous les ensembles, et On la classe des ordinaux, on a théorème :

Soit f une fonction de On * V dans V, alors il existe une unique fonction g de On dans V telle que pour tout ordinal α :

g(α) = f(α, g|α).

( Où « g|α » signifie « g restreint à α », et où f et g correspondent à l'extension de la notion de fonction des ensembles aux classes. )

• On appelle ∈-récursion la généralisation de ce théorème avec f fonction de V * V dans V et g fonction de V dans V.

Par récurrence transfinie, on peut construire des applications de l'ensemble des ordinaux vers un ensemble E quelconque : c'est-à-dire des sortes de suites. Pour définir une telle « suite » U, il suffit de savoir exprimer U (l'ordinal α) en fonction F de l'ensemble des ordinaux strictement inférieurs à α : bref il suffit de savoir écrire : U(α) = F({U(β),β < α}). L'ordre défini entre ordinaux étant bien fondé, tout ordinal a bien une image par U.

[supposons en effet que ce ne soit pas le cas : soit α₁ n'ayant pas d'image par U : si α₁ n'est pas le plus petit dans ce cas, soit α₂ n'ayant pas d'image par U et strictement plus petit que α₁ : si α₂ n'est pas le plus petit dans ce cas, soit α₃, etc. : la suite des ordinaux α_i qu'on construit ici est strictement décroissante : puisque l'ordre entre ordinaux est bien fondé, elle doit avoir une fin : c’est-à-dire qu'on doit trouver un α_n qui soit le plus petit ordinal sans image par U. Mais alors pour tout β < α_n, une image par U de β est définie : donc F({U(β),β < α_n}) peut être définie comme l'image de α_n par U : or on vient de dire qu'α_n n'avait pas d'image par U : c'est absurde]

La récurrence transfinie est un cas particulier de la récurrence noetherienne ou bien fondé, dans laquelle l'ordre bien fondé est bien ordonné, autrement dit total et bien fondé ; la récurrence noethérienne s'énonce ainsi : « si [(pour tout β < α, $P(\beta )\Rightarrow P(\alpha )$], alors [pour tout α, P(α)] »).