Représentations de e

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Introduction

la constante mathématique e

Logarithme naturel
Applications
Intérêts composés · Identité d'Euler · Formule d'Euler · Demi-vie · Croissance exponentielle / Décroissance exponentielle
Définitions
Démonstration de l'irrationalité de e · Représentations de e · Théorème d'Hermite-Lindemann
Personnes
John Napier · Jacques Bernoulli · Leonhard Euler
Conjecture de Schanuel

Cet article porte sur les représentations de e, une importante constante mathématique.

Elle peut être définie de différentes manières en tant que nombre réel. Puisque e est un nombre irrationnel, elle ne peut être représentée par une fraction ordinaire, mais bien par une fraction continue. En s'appuyant sur les résultats du calcul infinitésimal, e peut aussi être calculée à partir d'une série infinie, d'un produit infini et de plusieurs limites de suite.

Comme fraction continue

La constante e peut être représentée comme fraction continue simple (une démonstration est proposée dans l'article Fraction continue. Voir aussi suite A003417 de l’OEIS) :

e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, \dots, 1, 2n, 1, \dots]

Voici quelques fractions continues généralisées de e. La deuxième est obtenue en effectuant une transformation d'équivalence. La troisième – contenant… 6, 10, 14, … – converge très rapidement.

e = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{2}{3 + \frac{3}{4 + \frac{4}{⋱}}}}} e = 2 + \frac{2}{2 + \frac{3}{3 + \frac{4}{4 + \frac{5}{5 + \frac{6}{⋱}}}}}

e = 1 + \frac{2}{1 + \frac{1}{6 + \frac{1}{10 + \frac{1}{14 + \frac{1}{⋱}}}}}

e^{2 m / n} = 1 + \frac{2 m}{( n - m ) + \frac{m ^{2}}{3 n + \frac{m ^{2}}{5 n + \frac{m ^{2}}{7 n + \frac{m ^{2}}{⋱}}}}}

Posant m=x et n=2 donne

e^{x} = 1 + \frac{2 x}{( 2 - x ) + \frac{x ^{2}}{6 + \frac{x ^{2}}{10 + \frac{x ^{2}}{14 + \frac{x ^{2}}{⋱}}}}}

Comme séries infinies

La constante e est aussi égale à la somme de ces séries infinies :

e = [k = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{k !}]^{- 1}

e = [k = 0 \sum \infty \frac{1 - 2 k}{( 2 k )!}]^{- 1}

e = \frac{1}{2} k = 0 \sum \infty \frac{k + 1}{k !}

e = 2 k = 0 \sum \infty \frac{k + 1}{( 2 k + 1 )!}

e = k = 0 \sum \infty \frac{3 - 4 k ^{2}}{( 2 k + 1 )!}

e = k = 0 \sum \infty \frac{( 3 k ) ^{2} + 1}{( 3 k )!}

e = [k = 0 \sum \infty \frac{4 k + 3}{2 ^{2 k + 1} ( 2 k + 1 )!}]^{2}

e = - \frac{12}{π ^{2}} [k = 1 \sum \infty \frac{1}{k ^{2}} cos (\frac{9}{k π + k ^{2} π ^{2} - 9})]^{- 1/3}

e = k = 1 \sum \infty \frac{k ^{2}}{2 ( k !)}

e = k = 1 \sum \infty \frac{k}{2 ( k - 1 )!}

e = k = 1 \sum \infty \frac{k ^{3}}{5 ( k !)}

e = k = 1 \sum \infty \frac{k ^{4}}{15 ( k !)}

$e = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k ^{n}}{B _{n} ( k !)}$ où B_n est le n nombre de Bell.

(Pour les séries infinies 2 à 7, voir )

Comme produit infini

La constante e est aussi donnée par plusieurs produits infinis, dont le produit de Pippenger :

e = 2 (\frac{2}{1})^{1/2} (\frac{2}{3} \frac{4}{3})^{1/4} (\frac{4}{5} \frac{6}{5} \frac{6}{7} \frac{8}{7})^{1/8} \dots

et le produit de Guillera

e = (\frac{2}{1})^{1/1} (\frac{2 ^{2}}{1 \cdot 3})^{1/2} (\frac{2 ^{3} \cdot 4}{1 \cdot 3 ^{3}})^{1/3} (\frac{2 ^{4} \cdot 4 ^{4}}{1 \cdot 3 ^{6} \cdot 5})^{1/4} \dots,

où le n facteur est la n racine du produit

k = 0 \prod n (k + 1)^{(- 1)^{k + 1} (k n)},

Il y a aussi les produits infinis

e = \frac{2 \cdot 2 ^{(l n (2) - 1)^{2}} \dots}{2 ^{l n (2) - 1} \cdot 2 ^{(l n (2) - 1)^{3}} \dots} .

e = 1 \frac{2}{1} \cdot 2 \frac{4}{3} \cdot 4 \frac{6 \cdot 8}{5 \cdot 7} \cdot 8 \frac{10 \cdot 12 \cdot 14 \cdot 16}{9 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 15} \dots

Comme limite d'une suite

La constante e est égale à plusieurs limites de suite infinies :

$e = lim_{n \to \infty} n \cdot (\frac{2 π n}{n !})^{1/ n}$ et

e = n \to \infty lim \frac{n}{n n !}

(Les deux sont obtenues par la formule de Stirling).

La limite symétrique,

e = n \to \infty lim [\frac{( n + 1 ) ^{n + 1}}{n ^{n}} - \frac{n ^{n}}{( n - 1 ) ^{n - 1}}]

peut être obtenue en manipulant la limite de base de e. Une autre limite :

e = n \to \infty lim (p_{n} #)^{1/ p_{n}}

où p_n est le n nombre premier et $p_{n} #$ est la primorielle du n nombre premier.

Probablement la limite la plus connue :

e = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n}