Suite (mathématiques élémentaires)

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Introduction

Analyse

Intuitivement une suite réelle est une règle qui associe à chaque entier naturel n un certain nombre réel ; on dit alors que ce nombre réel est indexé par l’entier. En fait une suite est un moyen d’indexer des nombres réels par des entiers naturels, et ce de manière ordonnée.

Une suite réelle est une application de l’ensemble des entiers naturels $N$ ou d'une partie A de $N$ à valeurs dans $R$ .
Soit u : $A \to R$ une suite réelle. Nous notons u_n, l’image u(n) de n par u et nous appelons u_n le terme d’indice n de la suite, c'est-à-dire le n-ième terme si l'indexation commence à 1. Nous notons l’application u : $(u_{n})_{n \in A}$ ou plus simplement (u_n).

Lorsque A= $N$ , la suite u a pour ensemble d'indice l'ensemble des entiers naturels $N$ , nous obtenons la suite :

( u₀, u₁, …, u_n, …)

Les derniers trois petits points consécutifs signifient qu’il y a une infinité de termes après.

Si A={1,2,…, n} alors nous obtenons la suite finie, de n termes :

( u₁, u₂, …, u_n)

Remarquons que la notation (u_n) correspond à une application alors que la notation u_n désigne un nombre réel.

Dans la pratique, les suites sont souvent indexées sur $N$ .

Donnons quelques exemples de suites :

$(0)_{n \in N}$ est la suite nulle.
$(n)_{n \in N}$ est la suite de tous les entiers naturels.
$(2 n)_{n \in N}$ est la suite de tous les entiers naturels pairs.
$(n^{2})_{n \in N}$ est la suite des carrés des entiers naturels.
$((- 1)^{n})_{n \in N}$ est la suite (1, -1, 1, -1, ..., 1, -1, …).

Les suites les plus étudiées en mathématiques élémentaires sont les suites arithmétiques, les suites géométriques et les suite arithmético-géométriques

Variations d’une suite

Soit $u = (u_{n})_{n \in N}$ une suite réelle, donnons les définitions suivantes :

Croissance

La suite u est dite croissante si pour tout entier naturel n, $u_{n} \leq u_{n + 1}$

On a donc, $u_{0} \leq u_{1} \leq \dots \leq u_{n} \leq u_{n + 1}$ La suite u est dite strictement croissante si pour tout entier naturel n, u_n < u_{n + 1}

Décroissance

La suite u est dite décroissante si pour tout entier naturel n, $u_{n} \geq u_{n + 1}$

On a donc, $u_{n + 1} \leq u_{n} \leq \dots \leq u_{1} < u_{0}$ La suite u est dite strictement décroissante si pour tout entier naturel n, u_n > u_{n + 1}

Monotonie

La suite u est monotone si elle est croissante ou décroissante. De même, la suite u est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Suite stationnaire

Une suite u est dite stationnaire s’il existe un rang n₀ à partir duquel tous les termes de la suite sont égaux, c'est-à-dire un entier naturel n₀ tel que pour tout entier naturel n supérieur à n₀, $u_{n} = u_{n}_{0}$ On a donc, $u_{n_{0}} = u_{n_{0} + 1} = \dots = u_{n} = \dots$

Exemples

Si pour tout entier naturel n, u_n= 2n+1

La suite u est croissante.

Si pour tout entier naturel n non nul, $v_{n} = \frac{1}{n}$

La suite v est décroissante.

u et v sont donc monotones (et même strictement).

En revanche, la suite w définie par : pour tout entier naturel n, w_n = ( − 1)

n'est pas monotone en effet w₀ = − 1, w₁ = 1, w₂ = − 1.

Elle n'est ni croissante, ni décroissante.

Étudier les variations d’une suite c’est déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Donnons quelques règles pratiques permettant d’étudier les variations d’une suite

on étudie pour tout entier naturel n, le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$
lorsque tous les termes de la suite sont strictement positifs et qu’ils sont sous forme d’un produit, on peut étudier pour tout entier naturel n, le rapport $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ et on le compare à 1
si le terme général u_n et de la forme f(n) où f est une fonction définie sur $[0, + \infty [$ et si f est croissante (resp. décroissante) alors u est croissante (resp. décroissante).

Majorant minorant

Suite majorée

Une suite u est dite majorée s'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, $u_{n} \leq M$ . Le réel M est appelé un majorant de la suite. Dès lors qu'une suite est majorée, il existe une infinité de majorants (tous les réels supérieurs à un majorant quelconque).

Suite minorée

Une suite u est dite minorée s'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, $u_{n} \geq m$ . Le réel m est appelé un minorant de la suite.Dès lors qu'une suite est minorée, il existe une infinité de minorants (tous les réels inférieurs à un minorant quelconque).

Suite bornée

Une suite u est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Dans ce cas, il existe des réels M et m tels que pour tout entier naturel n, $m \leq u_{n} \leq M$ .

Caractère borné

u est bornée si et seulement s'il existe un réel K tel que pour tout entier naturel n, $∣ u_{n} ∣ \leq K$ (il suffit de prendre pour K la valeur absolue de celui de M et m qui est le plus grand en valeur absolue : K = max( | M | , | m | )).

Conséquence :

Pour démontrer qu’une suite u est bornée, il suffit de monter que la suite (|u_n|) est majorée.

Exemples

La suite u définie par : pour tout entier naturel n, $u_{n} = - 3 n + 1$ est majorée par 1 mais n’est pas minorée.
La suite v définie par : pour tout entier naturel n, v_n = (n − 7) est minorée par 0 mais n’est pas majorée.
La suite w définie par : pour tout entier naturel non nul n, $w_{n} = \frac{1}{n}$ est bornée (son plus grand terme est w₁ = 1, c'est aussi le plus petit des majorants; elle n'a pas de plus petit terme car elle est strictement décroissante, mais le plus grand des minorants est 0, c'est aussi sa limite).

Propriétés

Une suite croissante u est minorée par son premier terme u₀.
Une suite décroissante u est majorée par son premier terme u₀.
Lorsque le terme général u_n d’une suite s’écrit sous la forme d’une somme de n termes, nous pouvons minorer la somme par n fois le plus petit terme de la somme et majorer par n fois le plus grand. Mais cela ne permet pas toujours d’obtenir un minorant ou un majorant de la suite.

Erreurs fréquentes

Questions

La suite x définie par : pour tout entier naturel n, $x_{n} = \frac{n ^{2}}{n + 1}$ admet-elle comme majorant n ?
La suite y définie par : pour tout entier naturel n, $y_{n} = (- 1)^{n} . n$ est-elle majorée, minorée, bornée ?
La suite z définie par : pour tout entier naturel n non nul, $z_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ est-elle majorée, minorée, bornée ?

Réponses

En effectuant le calcul suivant, on montre que tout terme de rang n est nécessairement plus petit que n: $\frac{n ^{2}}{n + 1} - n = \frac{n ^{2} - n ( n + 1 )}{n + 1} = - \frac{n}{n + 1} \leq 0$ ce qui pourrait amener à penser que « n pourrait être un majorant de la suite ». Il n'en est rien ! Un majorant, par définition, est un réel fixé pour une suite u donnée, donc une constante qui ne saurait dépendre de l'indice de sommation (sinon toute suite serait « majorée par u_n+1 »), or n n'est bien-sûr ici pas une constante. Cette suite n'est pas majorée et est croissante (on dit qu'elle diverge ou qu'elle admet une limite infinie). En revanche son premier terme x₀ = 0 est plus petit que tous les autres, c'est un minorant de la suite.
Il suffit de voir ce que sont les premiers termes pour comprendre le fonctionnement de cette suite : $u_{0} = 0, u_{1} = - 1, u_{2} = 2, u_{3} = - 3, u_{4} = 4, u_{5} = - 5, \dots$ . Cette suite est ce qu'on appelle une suite alternée : chaque terme est du signe contraire de celui qui le précède. Ici, les termes de rang (d'indice) pair sont égaux à eux-même, et les termes de rang impair sont égaux à leur opposé. Cette suite n'est pas majorée car aussi grand que l'on choisisse un hypothétique majorant M, il suffira de prendre le premier entier pair n supérieur à M pour que u_n dépasse M. La situation est symétrique quant aux éventuels minorants. Donc x_n n'est pas bornée.
Ici, les termes de rang (d'indice) pair sont égaux à leur inverse, et les termes de rang impair sont égaux à l'opposé de leur inverse. Cette suite est bornée et « atteint ses bornes », c’est-à-dire que le plus petit des majorants et le plus grand des minorants (les bornes en analyse) sont des termes de la suite, ce qui n'était pas le cas avec la suite des inverses, quant à sa borne inférieure). z₁ = − 1 et $z_{2} = \frac{1}{2}$ sont respectivement des minorant et majorant de (z_n), ce sont plus précisément aussi ses bornes.

Limite, convergence, divergence

Voir l'article Limite (mathématiques élémentaires).