Système d'équations (mathématiques élémentaires)

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Introduction

Probabilités

Un système d'équations est un ensemble de plusieurs équations faisant appel aux mêmes inconnues.

Dans la vie courante et en sciences, les phénomènes dépendent le plus souvent de plusieurs paramètres. Pour les modéliser, on utilise en mathématiques les systèmes d'équations à plusieurs inconnues. Un problème mathématique comportant moins d'équations que d'inconnues a une infinité de solutions.

Exemple d'équation avec une infinité de solutions

L'équation $4 x + 2 y = - 1$ a une infinité de solutions. Si je prends pour $x$ la valeur $1$ , j'obtiens :

$4 \times 1 + 2 y = - 1$
$4 + 2 y = - 1$
$2 y = - 5$ ;
$y = \frac{- 5}{2}$ .

Plus généralement, si $x$ est un nombre quelconque, $y$ doit absolument valoir

$4 x + 2 y = - 1$
$2 y = - 1 - 4 x$
$y = \frac{- 1 - 4 x}{2}$
$y = - 0, 5 - 2 x$

Définitions mathématiques

On appelle système d'équations un ensemble $(S)$ de plusieurs équations à plusieurs inconnues que l'on doit résoudre en même temps.

Exemple : ${4 x + 2 y = - 13 x - y = 2$ est un système de deux équations à deux inconnues.

Résoudre $(S)$ , c'est trouver toutes les valeurs qu'il faut donner à chaque inconnue en même temps pour que toutes les égalités soient vraies.

Le système $(S)$ est linéaire s'il existe des nombres réels $a, b, c, a^{'}, b^{'}, c^{'}$ tels que $(S)$ soit de la forme : ${a x + b y = c a^{'} x + b^{'} y = c^{'}$ .

Systèmes de 2 équations linéaires à 2 inconnues

Interprétation graphique

Celle-ci va nous permettre d'établir des théorèmes utiles pour la suite.
Chaque équation du système $(S)$ définit une fonction affine, et est donc représentée par une droite dans un repère.Or :

les coordonnées du point d'intersection des deux droites représentent la solution de $(S)$ ;
deux droites ont :
soit un unique point d'intersection ;
soit aucun point d'intersection ;
soit une infinité de points d'intersection.

D'où le théorème suivant :

Théorème 1 : Un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues a :

soit une unique solution ;
soit aucune solution ;
soit une infinité de solutions.

On démontre aussi le théorème suivant (en se reportant plus haut pour les notations) :

Théorème 2 : Un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues admet une seule solution si, et seulement si, le nombre $a b^{'} - a^{'} b$ est non nul, c'est-à-dire : $a b^{'} - a^{'} b \neq = 0$ .

On appelle $a b^{'} - a^{'} b$ le déterminant du système (S).

Exemple de résolution graphique : Soit le système : ${4 x + 2 y = - 13 x - y = 2$ .

La première équation équivaut à $y = - 0.5 - 2 x$ (voir plus haut).

La deuxième équation équivaut à :

$3 x - y = 2$ ;
$- y = 2 - 3 x$ ;
$y = - (2 - 3 x) = 3 x - 2$ .

En traçant les droites d'équations respectives $y = - 0.5 - 2 x$ et $y = 3 x - 2$ , on voit que leur point d' intersection est $(0.3; - 1.1)$ .La solution (approximative) du système est $x = 0.3$ et $y = - 1.1$ .

Résolution algébrique

Il existe deux méthodes a priori différentes, mais qui reposent sur le même principe de base : élimination d'une inconnue. Détaillons-les sur un exemple.

Méthode par substitution

Exemple : Reprenons le système : ${4 x + 2 y = - 13 x - y = 2$ .

Exprimons $y$ en fonction de $x$ dans la première équation. On obtient $y = - 0.5 - 2 x$ . Remplaçons donc $y$ par $- 0.5 - 2 x$ dans la deuxième équation. On a :

$3 x - (- 0.5 - 2 x) = 2$ ;
$3 x + 0.5 + 2 x = 2$ ;
$5 x + 0.5 = 2$ ;
$5 x = 1.5$ ;
$x = \frac{1.5}{5} = 0.3$ .

Or, $y = - 0.5 - 2 x$ . Donc on obtient : $y = - 0.5 - 2 \times 0.3 = - 0.5 - 0.6 = - 1.1$ .

La solution du système est le couple $(x; y) = (0.3; - 1.1)$ .

Méthode par combinaison ou élimination

Cette méthode est aussi appelée "méthode par addition" ou "par combinaison linéaire".
Exemple : Reprenons le système : ${4 x + 2 y = - 13 x - y = 2$ .

Pour éliminer $y$ , multiplions la deuxième ligne par $2$ et additionnons les deux lignes ainsi obtenues. On a : $\left\{\begin{matrix} 4x +2y = -1 \2 \times 3x - 2 \times y = 2 \times 2 \end{matrix}\right.$ puis ${4 x + 2 y = - 16 x - 2 y = 4$ et l'addition donne : $10 x = 3$
. En résolvant cette équation, on obtient $x = \frac{3}{10} = 0.3$ .

Remplaçons $x$ par $0.3$ dans la première ligne. On obtient :

$4 \times 0.3 + 2 y = - 1$ ;
$1.2 + 2 y = - 1$ ;
$2 y = - 1 - 1.2 = - 2.2$ ;
$y = \frac{- 2.2}{2} = - 1.1$ .

On retrouve la solution $(0.3; - 1.1)$

Cas général

D'une manière générale, pour un système sous la forme : ${a x + b y = c a^{'} x + b^{'} y = c^{'}$ , pour lequel le déterminant $a b^{'} - a^{'} b$ est non nul, on a $y = \frac{a c ^{'} - a ^{'} c}{a b ^{'} - a ^{'} b}$ et $x = \frac{c b ^{'} - c ^{'} b}{a b ^{'} - a ^{'} b}$ .

Système de 3 équations à 3 inconnues

Les systèmes de 3 équations à 3 inconnues se résolvent aussi de cette manière :

Méthode par substitution

$\left\{\begin{matrix[type=embedded-definition]} x+10y-3z=5 \quad[1] \ 2x-y+2z=2 \quad[2] \ -x+y+z=-3 \quad[3] \end{matrix}\right.$ .

Pour résoudre ce système de 3 équations à 3 inconnues, on isole une inconnue dans une des équations. Dans ce système, on isole l'inconnue x dans l'équation [1]

[1] : $x = - 10 y + 3 z + 5$ .

Maintenant on remplace l'inconnue $x$ dans les équations [2] et [3], qui donne un système de 2 équations à 2 inconnues à résoudre avec les méthodes de substitution ou d'addition .

${2 (- 10 y + 3 z + 5) - y + 2 z = 2 [2] - (- 10 y + 3 z + 5) + y + z = - 3 [3]$ .

Après avoir trouvé $y$ et $z$ , on les remplace dans l'équation [1] pour trouver $x$ .

Méthode par élimination

${x + 10 y - 3 z = 5 [1] 2 x - y + 2 z = 2 [2] - x + y + z = - 3 [3]$ .

Pour résoudre ce système, on peut éliminer $x$ par exemple dans les équations [2] et [3] en les remplaçant par les équations - 2 × [1] + [2] et [1] + [3]. Le système est alors équivalent au système

${x + 10 y - 3 z = 5 [1] - 21 y + 8 z = - 8 [2^{'}] 11 y - 2 z = 2 [3^{'}]$ .

Il suffit alors d'éliminer une autre inconnue, $z$ par exemple, dans [3'] en la remplaçant par 4 × [3'] + [2']. Le système est alors équivalent au système triangulaire suivant :

{x + 10 y - 3 z = 5 [1] - 21 y + 8 z = - 8 [2^{'}] 23 y = 0 [3^{''}]

L'équation [3"] permet de trouver $y$ , qui remplacé dans l'équation [2'] permet de trouver $z$ . Ces deux valeurs, remplacées dans l'équation [1] permet de trouver $x$

Cette méthode se généralise à des systèmes comportant davantage d'équations et davantage d'inconnues et prend le nom de méthode du pivot de Gauss.