Théorème de Bolzano-Weierstrass

En topologie des espaces métriques, le théorème de Bolzano-Weierstrass donne une caractérisation séquentielle des espaces compacts. Il tire son nom des mathématiciens Bernard Bolzano et Karl Weierstrass.

Un espace métrique $(X,d)$ est compact (au sens de l'axiome de Borel-Lebesgue) si et seulement si toute suite d'éléments de $X$ admet une valeur d'adhérence dans $X$ ou, de manière équivalente, admet une sous-suite qui converge vers un élément de $X$.

Cet énoncé peut se décomposer en :

• (sens direct) Dans un espace compact (non nécessairement métrisable), toute suite admet une valeur d'adhérence.
• (valeur d'adhérence dans un métrique) Dans tout espace topologique, si un élément $a$ est limite d'une sous-suite d'une suite $(x_n)$ alors $a$ est une valeur d'adhérence de la suite $(x_n)$. Dans un espace métrique, la réciproque est vraie.
• (sens réciproque) Si $(X,d)$ est un espace métrique dans lequel toute suite admet une sous-suite qui converge vers un élément de $X$, alors $X$ est compact.

Sens direct

On suppose que $X$ est compact : si toute intersection finie d'une famille de fermés est non vide, alors l'intersection de toute la famille est non vide.

Soit $\left(x_n\right)$ une suite d'éléments de $X$. Montrons que $\left(x_n\right)$ admet une valeur d'adhérence.

Notons $F_n=\overline{\left\{x_k,k\ge n\right\}}$ (où $\overline{A}$ désigne l'adhérence de A). L'ensemble des valeurs d'adhérence de $\left(x_n\right)$ est par définition l'intersection de la suite de fermés $F_n$. Il suffit donc de montrer que pour tout ensemble fini (non vide) $J$ d'entiers, ${\bigcap }_{n\in J}{F}_n$ est non vide. Or la suite des ensembles $F_n$ est décroissante, donc ${\bigcap }_{n\in J}{F}_n=F_p$ pour $p=\max \{n;n\in J\}$. Et ce $F_p$ contient $x_p$ donc est non vide, ce qui conclut.

Sens réciproque

Dans cette démonstration, on qualifiera de séquentiellement compact un espace métrique dans lequel toute suite admet une sous-suite convergente.

Premier lemme (nombres de Lebesgue d'un recouvrement)

Si ${\left(U_i\right)}_{i\in I}$ est un recouvrement ouvert d'un espace séquentiellement compact X, alors

c'est-à-dire qu'il existe des $r>0$ tels que toute boule ouverte de rayon $r$ soit incluse dans au moins l'un des ouverts du recouvrement.

Deuxième lemme (précompacité)

Si X est séquentiellement compact alors pour tout r > 0, X est recouvert par un nombre fini de boules de rayon r.

Fin de la démonstration du théorème

Supposons X séquentiellement compact et prouvons qu'il est compact. Soit ${\left(U_i\right)}_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de X.

D'après le premier lemme, il existe r > 0 tel que $\forall x\in X,\exists i\left(x\right)\in I,B\left(x,r\right)\subset U_{i\left(x\right)}$. Fixons un tel r.

D'après le lemme de précompacité, il existe une partie finie Y de X telle que $X={\bigcup }_{x\in Y}B\left(x,r\right)$.

On en déduit alors que la sous-famille finie ${\left(U_{i\left(x\right)}\right)}_{x\in Y}$ recouvre X.

De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.

Pour montrer cette propriété, il suffit de remarquer que les intervalles fermés bornés de $\mathbb{R}$ sont compacts (théorème de Borel-Lebesgue). La même propriété s'applique aux suites bornées complexes, ou plus généralement aux suites bornées de vecteurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie.