Espace métrique

En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique. On appelle espace métrisable un espace topologique homéomorphe à un espace métrique.

L'exemple correspondant le plus à notre expérience intuitive de l'espace est l'espace euclidien à trois dimensions. La métrique euclidienne de cet espace définit la distance entre deux points comme la longueur du segment les reliant.

La classe d'isométrie d'un espace métrique (ie l'ensemble de tous les espaces de même structure métrique) est beaucoup plus petite que sa classe d'homéomorphie. Par exemple un carré, un triangle, un cercle et n'importe quelle courbe de Jordan sont homéomorphes, par contre ils ne sont pas isométriques. Ainsi une structure métrique code beaucoup plus d'information sur la forme géométrique des objets qu'une simple structure topologique. Ceci n'est pas très étonnant, car la notion de distance entre 2 points est centrale pour la géométrie usuelle.

• On appelle (E, d) un espace métrique si E est un ensemble non vide, et d une distance sur E.

• On appelle distance sur un ensemble E, une application d de E dans ${\mathbb{R}}^{+}$, telle que :

• $\forall x,y\in E,d(x,y)=d(y,x)$ (symétrie);

• $$\forall x,y\in E,d(x,y)=0\iff x=y$$

  (séparation);

• $\forall x,y,z\in E,d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$ (inégalité triangulaire).

• On appelle boule ouverte (resp. fermée) centrée en un point a de E et de rayon r (un élément de ${\mathbb{R}}^{+}$), l'ensemble des points x situés à une distance de a strictement plus petite que r (resp. inférieure ou égale à r) : $B(a,r)=\{x\in E\mid d(x,a)<r\}$, ${\mathcal{B}}_f(a,r)=\left\{x\in E\mid d(x,a)\le r\right\}$.

• $$U\subset E\mathrm{ouvert}\mathrm{de}E⟺\forall x\in U,\exists r>0,B(x,r)\subset U$$

  On appelle ouvert de E, tout ensemble U tel que pour tout x de U, il existe une boule ouverte de centre x, de rayon non nul, et incluse dans U : . L'ensemble de ces ouverts constitue alors une topologie sur E, dite « topologie induite par la distance » d. Un espace topologique est dit métrisable s'il existe une distance induisant sa topologie ; cette distance n'est jamais unique. Les notions de boule, de borné (c'est-à-dire inclus dans une boule), de suite de Cauchy, de continuité uniforme, etc. ne sont pas des notions topologiques mais métriques, susceptibles de varier selon la distance choisie. Dans cette topologie, les voisinages d'un point sont tous les sous-ensembles contenant une boule ouverte centrée sur ce point. La topologie usuelle sur la droite (des nombres réels), le plan, etc. sont des exemples de topologies métrisables.

• Une boule fermée B_f(a, r) de centre a et de rayon r est un fermé (pour la topologie associée à la distance). La notation $\overline{B}(a,r)$ est également utilisée mais ambigüe, car l'adhérence de B(a, r) est parfois strictement incluse dans B_f(a, r), même pour r >0 (voir Adhérence (mathématiques) et Boule (mathématiques)).

• Pour toute partie non vide A de E, l'application qui à tout point x de E associe la distance de x à A (c'est-à-dire l'inf des distances de x à tous les points de A) est continue, car 1-lipschitzienne. Les x en lesquels elle s'annule sont les points adhérents à A.

• Tout espace topologique métrisable est séparé. Il vérifie même une propriété de séparation beaucoup plus forte : c'est un espace parfaitement normal, c'est-à-dire que tous les singletons sont fermés et que tout fermé est le lieu d'annulation d'une fonction continue (la fonction qui à tout point associe sa distance à ce fermé). En particulier, c'est un espace normal.

• Une norme N induit de manière naturelle une distance d(x,y)=N(x-y).
• La distance triviale (ou encore distance discrète ou métrique discrète) : sur un ensemble non vide, on décide que la distance entre deux points distincts est 1 (d(x,y) = 1 pour tout x différent de y et d(x,x) = 0*). Avec une telle distance, on vérifie aisément que la topologie est alors l'ensemble des parties de E, c'est-à-dire que toute partie* F de E est ouverte.
• Les espaces topologiques R et ]0,1[ sont homéomorphes, mais munis des distances usuelles, ils ne sont pas isomorphes en tant qu'espaces métriques ; par exemple R est complet mais ]0,1[ ne l'est pas.
• Si on munit R₊ de la distance d(x,y)=|e- e|, on retrouve la topologie usuelle sur R₊ mais maintenant toutes les fonctions polynômes sont uniformément continues.
• La distance aux échecs permet de connaître le nombre de coups nécessaire au jeu d'échecs pour aller avec le roi d'une case x₁, y₁ à une case x₂, y₂ et se définit par $D_{Echec}=\max \left(\left|\left(x_2-x_1\right)\right|,\left|\left(y_2-y_1\right)\right|\right)$
• La distance de Manhattan : dans le plan ${\mathbb{R}}^2:d(a,b)=|x_b-x_a|+|y_b-y_a|$.c'est bien sûr la distance induite par la norme 1.

En comparant deux espaces métriques il est possible de distinguer différents degrés d'équivalence. Pour préserver a minima la structure topologique induite par la métrique, une fonction continue entre les deux est requise.

Soit deux espaces métriques (M₁, d₁) et (M₂, d₂). M₁ et M₂ sont appelés

• topologiquement isomorphes (ou homéomorphes) s'il existe un homéomorphisme entre eux.

• uniformément isomorphes s'il existe un isomorphisme uniforme entre eux.

• isométriquement isomorphes s'il existe un isométrie bijective entre eux. Dans ce cas les deux espaces sont essentiellement identiques. Une isométrie est une fonction f : M₁ → M₂ qui préserve les distances : d₂(f(x), f(y)) = d₁(x, y) pour tout x, y dans M₁. Les isométries sont forcément injectives.

• similaire s'il existe une constante positive k > 0 et une fonction bijective f, appelée similarité telle que f : M₁ → M₂ et d₂(f(x), f(y)) = k d₁(x, y) pour tout x, y dans M₁.

• similaire (du second type) s'il existe une fonction bijective f, appelée similarité telle que f : M₁ → M₂ et d₂(f(x), f(y)) = d₂(f(u), f(v)) si et seulement si d₁(x, y) = d₁(u, v) pour tout x, y,u, v dans M₁.

Dans le cas d'un espace euclidien avec la métrique usuelle, les deux notions de similarité sont équivalentes.

Partant d'un espace topologique, on peut se demander s'il est métrisable, c'est-à-dire s'il existe une distance qui induit sa topologie. Plusieurs conditions suffisantes pour cela ont été trouvées.

• La première réellement utile est due à Urysohn ; elle dit que tout espace topologique à base dénombrable et régulier est métrisable. (Note historique : cette forme de la condition a en fait été prouvée par Tychonov en 1926. Ce qu'Urysohn avait trouvé, dans un article publié en 1925, était que tout espace topologique à base dénombrable et normal est métrisable.) Par exemple, toute variété à base dénombrable est métrisable. Egalement un compact est métrisable si et seulement s'il est à base dénombrable.
• Cette condition suffisante d'Urysohn (régularité + base dénombrable) a été transformée en une condition nécessaire et suffisante (régularité + base dénombrablement localement finie) par Bing, Nagata et Smirnov
• Smirnov a aussi prouvé qu'un espace est métrisable si et seulement s'il est paracompact et localement métrisable (un espace est dit localement métrisable si chaque point a un voisinage métrisable). En particulier, une variété est métrisable si et seulement si elle est paracompacte.