Théorème de Borel-Lebesgue

En Topologie de ${\mathbb{R}}^n$, le théorème de Borel-Lebesgue ou de Heine-Borel établit l'équivalence entre les deux propriétés suivantes d'un ensemble A de vecteurs :

• A est fermé et borné (A est borné s'il existe une constante positive majorant la norme des tous les éléments de A) ;
• A vérifie la propriété de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de A par des ouverts de ${\mathbb{R}}^n$ on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Cette seconde propriété est en fait la définition générale d'un compact en topologie : un espace est compact si et seulement si il est séparé et a cette propriété. Le théorème de Borel-Lebesgue peut donc se lire : un sous-ensemble de ${\mathbb{R}}^n$ est compact si et seulement il est fermé et borné.

À cause de ce théorème beaucoup d'auteurs préfèrent définir les compacts de ${\mathbb{R}}^n$ comme les ensembles fermés et bornés de vecteurs. Dans ce cas le théorème se lit : un sous-ensemble de ${\mathbb{R}}^n$ est compact si et seulement il a la propriété de Borel-Lebesgue.

Le théorème peut se généraliser à tout espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, mais devient faux en dimension infinie.

• Montrons qu'un compact de ${\mathbb{R}}^n$ est fermé borné. Tout compact d'un espace topologique séparé est fermé, et tout compact est borné dans un espace métrique.

• Montrons qu'un fermé borné est compact.

Pour cela montrons qu'un segment de $\mathbb{R}$ est compact. Soit F un segment [a,b] et C un recouvrement ouvert de F. Considérons alors l'ensemble E des points x de F tels que [a,x] admette un recouvrement fini extrait de C. E est non vide car il contient a. E est aussi majoré par b borne supérieure de F, il possède donc une borne supérieure c. E est ouvert dans F car tout point x de E admet comme voisinage un intervalle ouvert contenant x contenu dans l'ouvert du recouvrement fini contenant x, et cet intervalle est naturellement contenu dans E. La borne supérieure c de E est incluse dans E car il existe un ouvert de C contenant c; or l'union de cet ouvert et du recouvrement fini forme un nouveau sous-recouvrement fini contenant la borne supérieure. Le seul ouvert fermé non vide de F est lui même, donc E est égal F. La propriété est démontrée pour les segments.

Un fermé borné de ${\mathbb{R}}^n$ est toujours inclus dans un produit de segments ; il suffit alors de remarquer que les parties fermées des compacts sont compactes.