La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme la continuité en tout point. En revanche, pour les propriétés locales comme la continuité en un point ou la limite, le formalisme des voisinages est souvent plus simple.
Dans un espace topologique, un voisinage d'un point est un sous-ensemble contenant un ouvert contenant ce point. Soit un espace topologique et un point de . Notons alors l'ensemble des voisinages de . Nous pouvons alors remarquer que :
Nous venons de démontrer que les voisinages de forment un filtre sur pour l'inclusion. On peut de plus remarquer que :
La deuxième propriété signifie qu'il existe un ensemble (l'ouvert contenant a) qui est voisinage de chacun de ses points.
La section précédente montre que les axiomes de la topologie définissent les voisinages en chaque point. On peut alors définir axiomatiquement l'ensemble des voisinages. Cette définition nous permet de définir une topologie.
Soit un ensemble. Une application de dans notée forme un ensemble de voisinage si et seulement si:
Considérons alors l'ensemble des parties de qui sont voisinages de chacun de leurs points plus l'ensemble vide. Cet ensemble forme une topologie.
L'ensemble des voisinages d'un point est vaste. L'analyse des filtres pour l'inclusion nous indique qu'il nous suffit de connaître une base de filtre pour définir cet ensemble de voisinages. La définition, déduite directement du concept de base de filtre, est donc la suivante : Une base de voisinages d'un point d'un ensemble est une famille de sous-ensembles de contenant et telle que toute intersection finie contient un élément de .
Le formalisme des voisinages permet d'exprimer simplement les notions de limite et de continuité en un point.
Soit un espace topologique et un sous espace de . Soit une fonction de dans un espace topologique. Soit un point de l'adhérence de , la fonction admet comme limite au point si et seulement si l'image réciproque d'un voisinage de est un voisinage de dans . L'expression de la limite prend alors la forme suivante:
Soit une fonction d'un espace topologique dans et soit un point élément du domaine de définition de . La fonction est continue au point si et seulement si l'image réciproque d'un voisinage de est un voisinage de . L'expression de la continuité au point prend alors la forme suivante :
Il est possible de compléter avec la valeur . Si on associe à cet espace le filtre de Frêchet, contenant tous les complémentaires des ensembles finis qui contiennent la valeur . Alors possède un ensemble de voisinages. On peut alors définir la limite d'une suite à valeur dans ou . Cette suite converge vers la valeur quand tend vers si et seulement si:
Dans l'ensemble des réels, on définit les voisinages d'un réel a de la manière suivante:
Exprimons alors les notions de limite et de continuité pour une fonction définie sur un sous ensemble des nombres réels dans un espace topologique.
Soit un élément de l'adhérence de et un élément de . Dire que la fonction a pour limite au point , c'est dire que pour tout voisinage il existe strictement supérieur à tel que l'image de l'intersection de l'intervalle avec est inclu dans . Ou encore:
La continuité en si est un élément du domaine de définition de s'exprime de la manière suivante:
Dans le cas des fonctions réelles de la variable réelle, on obtient:
Pour la continuité on a:
Il est possible d'étendre la droite réelle avec les valeurs et . on définit alors leurs voisinages:
Remarque: On peut remarquer que la droite réelle étendue avec les voisinages précédents forme bien une topologie. En revanche cette topologie n'est pas déduite de la distance usuelle. En effet, les points limites de la droite réelle n'ont pas de distance vis à vis des autres points.
Dans le cas des fonctions réelles de la variable réelle, on obtient:
Tout espace métrique est muni d'une topologie déduite. En effet, soit un espace métrique, soit un point de et un réel strictement positif. L'ensemble des boules ouvertes de centre et de rayon forment une base de filtre pour l'inclusion. Considérons alors l'ensemble tous les filtres générés par cette base de filtre. Montrons alors que forment un ensemble de voisinages. Par construction un ensemble est élément de si et seulement s'il existe une boule ouverte de centre et de rayon strictement positif, contenue dans .
Nous venons de démontrer que les axiomes des ensembles de voisinages sont bien satisfaits, ce qui montre que l'application de dans définit bien un ensemble de voisinages. Les ouverts sont alors les ensembles tel que pour tout point de il existe une boule ouverte de centre et inclu dans .
Exprimons alors les notions de limite et de continuité pour une fonction définie sur dans un espace métrique. On note (resp. ) la distance dans (resp. dans ).
Soit un élément de l'adhérence de et un élément de . Dire que la fonction a pour limite au point , c'est dire que pour tout strictement supérieur à , il existe strictement supérieur à , tel que l'intersection l'image de la boule ouverte de centre et de rayon avec , est incluse dans la boule ouverte de centre et de rayon , Ou encore:
La continuité en si est un élément du domaine de définition de s'exprime de la manière suivante:
L'ensemble est un voisinage de l'ensemble si et seulement si est un voisinage de tous les points de .
est appelé voisinage uniforme de l'ensemble si et seulement s'il existe un rayon strictement positif tel que, pour tout de , la boule ouverte de centre et de rayon est incluse dans .
Exemple: dans l'ensemble des réels muni de la distance issue de la valeur absolue, l'ensemble défini par :
est un voisinage de l'ensemble des entiers naturels, mais n'est pas un voisinage uniforme de celui-ci.
Il existe des topologies qui ne sont pas associées à des espaces métriques. La topologie faible en est un exemple.