Théorème de Frobenius généralisé

Le théorème de Frobenius généralisé est un théorème d'algèbre générale qui étend le théorème de Frobenius de 1877.

En 1843, Hamilton a souhaité étendre les propriétés d'algèbre normée des nombres complexes en considérant des triplets de réels. Il ne put effectuer cette généralisation qu'en considérant des quadruplets de réels, et en abandonnant la commutativité du produit, il obtint les quaternions.

En 1845, Cayley poursuit l'extension de la construction à huit dimensions, en abandonnant également l'associativité du produit, compensée par les lois alternatives x(x**y) = x**y et (y**x)x = y**x.

En 1877, Frobenius a montré un théorème qui donne une classification des algèbres de division associatives de dimension finie sur le corps des réels (il s'agit de $\mathbb{R}$ (réels), $\mathbb{C}$ (complexes) et $\mathbb{H}$ (quaternions)).

Nous donnons ici une généralisation de ce théorème :

Théorème de Frobenius généralisé — Les seules algèbres de division alternatives de dimension finie sur le corps des réels sont $\mathbb{R}$ (réels), $\mathbb{C}$ (complexes), $\mathbb{H}$ (quaternions) et $\mathbb{O}$ (octonions).

Il est utile d'utiliser l'associateur A de x,y,z. Soit une algèbre alternative (qui satisfait les lois alternatives qui se traduisent par A(x,x,y) = A(y,x,x) = 0) sur un corps $\mathbb{K}$ et x,y,z trois éléments de cette algèbre.

Lemme 1 — L'associateur est alterné :

$A(x,y,z)=-A(y,x,z)=-A(x,z,y)=-A(z,y,x)$.

En effet, par la première loi alternative on a

Lemme 2 — La loi flexible x(y**x) = (x**y)x est valide.

En effet, par le lemme 1, A(x,y,x) = − A(y,x,x).

Lemme 3 — Si x et y anticommutent (x**y = − y**x), alors x(y**z) = − y(x**z) et (z**x)y = − (z**y)x.

En effet, par le lemme 1, A(x,y,z) + A(y,x,z) = 0, et si x**y + y**x = 0, alors 0 = A(x,y,z) + A(y,x,z) + (x**y + y**x)z = x(y**z) + y(x**z), soit x(y**z) = − y(x**z). L'autre égalité se démontre de même.

Lemme 4 — L'identité de Moufang (z**x)(y**z) = (z(x**y))z est valide (on dit que le produit est neutroactif).

En effet,

D'où (z**x)(y**z) = A(x,y,z)z + ((z**x)x)z = A(x,y,z)z − A(z,x,y)z + (z(x**y))z = (z(x**y))z.

Lemme 5 — En définissant par récurrence x = x puis x = x**x pour $n\in \mathbb{N}$, on a x**x = x.

Par récurrence sur m, avec la loi flexible on obtient x**x = x.

Puis par récurrence sur n, comme la propriété est vraie par définition pour m = 1, alors on peut supposer m > 1 et l'hérédité vient de l'identité de Moufang :

$x^{n+1}{x}^m=(x{x}^n)(x^{m-1}x)=x{x}^{n+m-1}x=x^{n+m+1}$.

Soit D une algèbre de division alternative de dimension finie sur le corps des réels.

Point 1

Si $x\in D$, alors $x^2\in \mathbb{R}+\mathbb{R}x$.

Par le lemme 5, l'application

est un morphisme d'algèbre.

La famille {1,x,x,...} des puissances d'un élément $x\in D$ est liée. En effet, si cette famille est finie, il y a un relation du type x = x avec $n\ne m$ et si elle est infinie, cela vient de la dimension finie de D.

Etant donné qu'un polynôme à coefficients réels est produit de polynômes de degré un ou deux (cf. Factorisation des polynômes), et comme D n'admet pas de diviseur de zéro, on en déduit que x vérifie une équation du second degré à coefficients réels, soit $x^2\in \mathbb{R}+\mathbb{R}x$.

Point 2

Si $D\ne \mathbb{R}$, alors il existe $i\in D$ tel que i = − 1. $\mathbb{C}=\mathbb{R}+\mathbb{R}i$ est un corps isomorphe à celui des nombres complexes et $\mathbb{C}=\{x\in D|xi=ix\}$.

En effet, par le point 1, x = a**x + b avec $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$, d'où $(x-\frac{a}{2}{)}^2\in \mathbb{R}$.

Ainsi, si $x\notin \mathbb{R}$, il faut que $(x-\frac{a}{2}{)}^2=-c^2$ avec $c\in \mathbb{R}$.

On en déduit que si $D\ne \mathbb{R}$, alors d'une part il existe $i\in D$ tel que i = − 1, et d'autre part si $x\in D$ et x**i = i**x alors $x\in \mathbb{R}+\mathbb{R}i$ (en effet si $x\notin \mathbb{R}$, alors $(x-\frac{a}{2}{)}^2=(ic{)}^2$, et avec x**i = i**x on a

soit $x=\frac{a}{2}\pm ic$).