Théorème de Kronecker

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, le théorème de Kronecker traite des groupes abéliens finis.

Le théorème de Kronecker est aussi appelé théorème fondamental des groupes abéliens finis. Il stipule que tout groupe abélien fini est isomorphe à un produit direct de groupes cycliques.

Ce théorème doit son nom à Leopold Kronecker qui l'a démontré la première fois en 1870 dans un article intitulé Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenzahl idealer complexer Zahlen Monatsber.

Soit G un groupe abélien fini.

• Il existe une unique suite (a₁,a₂,...,a_k) d'entiers > 1 telle que G soit isomorphe au produit direct des groupes cycliques de cardinal les différents éléments de la suite:

et que a_i+1 divise a_i pour tout i entier entre 1 et k - 1.

• Les éléments de cette suite sont appelés facteurs invariants de G.

Il existe de nombreuses manières de démontrer ce théorème. Une des méthodes les plus expéditives utilise la théorie des représentation des groupes. Il en existe d'autres utilisant par exemple les caractères. La démonstration proposée ici reste dans le cadre strict de la théorie des groupes. Elle se fonde sur une décomposition en somme directe.

La démonstration se fonde sur la construction d'un projecteur φ dont l'image est le groupe cyclique C₁ d'ordre θ l'exposant du groupe. Les projecteurs d'un groupe abélien sont étudiés dans le paragraphe Projecteur de l'article Produit direct (groupes).

Soit B une famille génératrice (g₁,g₂,...,g_k) tel que l'ordre de g₁ soit égal à θ. Une telle famille existe toujours car le groupe est fini. Il est toujours possible d'adjoindre à cette famille un élément g₁ d'ordre θ.

La technique consiste à définir le morphisme sur C₁ comme étant égal à l'identité, puis de prolonger ce morphisme sur le groupe engendré par g₁ et g₂ puis sur le groupe engendré par g₁, g₂ et g₃ jusqu'à g_k. La démonstration procède donc par récurrence sur k.

• Le théorème de Jordan-Hölder est un théorème analogue dans le cas où le groupe n'est pas abélien.

• Un théorème structurel existe aussi dans le cas où le groupe n'est plus fini mais de type fini.