Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre

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Introduction

Figure 1 : angles inscrits AMB = ANB et angle au centre AOB

En géométrie euclidienne plane, plus précisément dans la géométrie du cercle, les théorèmes de l'angle inscrit et de l'angle au centre établissent des relations liant les angles inscrits et les angles au centre interceptant un même arc.

Le théorème de l'angle au centre affirme que, dans un cercle, un angle au centre mesure le double d'un angle inscrit interceptant le même arc.

Le théorème de l'angle inscrit est une conséquence du précédent et stipule que deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle sont égaux.

Il existe deux versions de ces théorèmes, une concernant les angles géométriques et l'autre les angles orientés.

Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre

Version relative aux angles géométriques

Figure 2 : angle inscrit AMB obtus, angle au centre AOB rentrant

Théorème — Soit M un point d'un cercle Γ, de centre O, A et B sont deux points du cercle distincts de M. Si les angles AMB et AOB interceptent le même arc AB alors : $2 A M B = A O B$ .

Il existe donc deux situations, l'une où l'angle inscrit de sommet M est aigu, donc l'angle au centre de sommet O saillant (figure 1), l'autre où l'angle inscrit de sommet M est obtus, donc l'angle au centre de sommet O rentrant (figure 2).

La démonstration de ce théorème se fait en deux étapes.

Dans un premier temps (figure ci-dessus à gauche) on démontre que si [MD] est un diamètre alors on a : $2 A M D = A O D$ .

En effet, on a : $A O D = 18 0^{\circ} - A O M$ et comme le triangle AOM est isocèle de sommet O, on sait que : $18 0^{\circ} - A O M = 2 A M D$ D'où l'égalité.

Dans l'autre temps on remarque que, quelles que soient les positions de A et B l'angle $A M B$ est la somme (figure du centre) ou la différence (figure de droite) des angles $A M D$ et $D M B$ et qu'il en sera de même pour l'angle $A O B$ , somme ou la différence des angles $A O D$ et $D O B$ .

Version relative aux angles orientés

L'énoncé et la démonstration de la propriété sont beaucoup plus simples avec des angles orientés.

Théorème — Si A et B sont deux points d'un cercle Γ de centre O et si M est un point de Γ distinct de A et B alors : $(O A, O B) \equiv 2 (M A, M B) mod 2 π$ .

la démonstration utilise simplement la relation de Chasles sur les angles orientés et la propriété des triangles isocèles.

$(O A, O B) \equiv (O A, O M) + (O M, O B) mod 2 π$ .

Comme les triangles OAM et OBM sont isocèles, on a : $(O A, O M) \equiv π - 2 (M O, M A) mod 2 π$ et : .

En remplaçant on obtient : $(O A, O B) \equiv 2 π - 2 ((M B, M O) + (M O, M A)) mod 2 π$

(O A, O B) \equiv - 2 (M B, M A) mod 2 π

$(O A, O B) \equiv 2 (M A, M B) mod 2 π$ .

Propriété réciproque — Si A et B sont deux points distincts d'un cercle Γ de centre O et M un point distinct de A et B et si : $(O A, O B) \equiv 2 (M A, M B) mod 2 π$ alors M est sur le cercle.

Cette propriété se démontre en remarquant que l'égalité précédente empêche les points M, A et B d'être alignés (l'angle $(O A, O B)$ n'est jamais nul). On peut donc considérer le centre O' du cercle circonscrit au triangle MAB et utiliser le sens direct de la propriété

(O^{'} A, O^{'} B) \equiv 2 (M A, M B) mod 2 π

on obtient donc : $(O^{'} A, O^{'} B) \equiv (O A, O B) mod 2 π$ .

Les triangles isocèles (OAB) et (O'AB) ont même base et même angle au sommet, ils sont donc confondus et O' = O. Le point M est bien sur le cercle Γ.

Théorème de l'angle inscrit

Version relative aux angles géométriques

Théorème — Deux angles inscrits dans un cercle interceptant le même arc de cercle sont égaux.

Un angle est inscrit dans un cercle si son sommet appartient au cercle. L'arc qu'il intercepte peut être sortant ou rentrant. Dans le second cas, les angles géométriques sont obtus, mais la propriété s'énonce de la même façon : $A M B = A N B$ .

Cette propriété est une conséquence directe du théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre.
En effet, puisque : $A M B = \frac{1}{2} A O B$ et $A N B = \frac{1}{2} A O B$ il vient immédiatement que : $A M B = A N B$ .

Version relative aux angles orientés

Pour les angles orientés, la propriété devient une caractérisation du cercle passant par les points AMB.

Théorème — Si trois points A, M, B ne sont pas alignés, et si (Γ) est le cercle circonscrit aux trois points alors pour tout point N distinct de A et B, on a $(N A, N B) \equiv (M A, M B) mod π ⟺ N \in (Γ)$ .

On remarquera que l'égalité n'est vraie qu'à π près ce qui explique que les angles géométriques puissent être différents.

Angle de la corde et d'une tangente

La propriété des angles inscrits se généralise aux angles que fait la corde qui sous-tend l'arc avec une tangente :
L'angle inscrit est égal à l'angle formé par la corde, qui joint les extrémités de l'arc, avec la partie de la tangente au cercle à l'une des extrémités de la corde, située à l'opposé de l'angle en question par rapport à la corde.
.
L'angle inscrit $A M B$ est égal à un deux angles formé par la tangente (TT') au cercle en A avec la corde [AB] :

L'angle inscrit $A M B$ a même mesure que l'angle $B A T$ de la corde [BA] avec la tangente [AT).

L'angle inscrit $A N B$ a même mesure que l'angle $B A T^{'}$ de la corde [BA] avec la tangente [AT').

$B A T$ est la position limite de l'angle inscrit $B M A$ lorsque M "tend" vers A.

Démonstration :
Si H est le milieu de [AB], les angles $H O A$ et $B A T$ ont leurs côtés deux à deux perpendiculaires, ils sont égaux.
(OH) étant la bissectrice du triangle isocèle BOA, on a $H O A = \frac{1}{2} B O A$ et $B A T$ est bien égal à la moitié de l'angle au centre $B O A$ .