Théorème de la base incomplète

En algèbre linéaire, le théorème de la base incomplète affirme que, dans un espace vectoriel E sur un corps K,

• Toute famille libre de vecteurs peut être complétée en une famille libre et génératrice de E (c'est-à-dire une base de E) ;
• De toute famille génératrice de E peut être extraite une sous-famille libre et génératrice.

En particulier, ce théorème affirme que tout espace vectoriel E admet une base. En effet, la famille vide est libre et peut être complétée en une base de E. Ce résultat d'existence conduit à la définition de la dimension en algèbre linéaire. L'énoncé du théorème est le suivant :

Théorème de la base incomplète. Soit E un espace vectoriel, $(u_i{)}_{i\in I}$ une famille génératrice de E et $(u_i{)}_{i\in I^{\prime }}$ une famille libre, avec $I^{\prime }\subset I$. Alors il existe I'' tel que $I^{\prime }\subset I^{\prime \prime }\subset I$ et que $(u_i{)}_{i\in I^{\prime \prime }}$ soit une base de E.

La démonstration dans le cas fini repose sur l'algorithme suivant :

1. Soit une sous-famille libre initiale $(u_i{)}_{i\in I^{\prime }}$.
2. Si cette famille n'est pas génératrice (n'est pas une base), il existe un indice i tel que u_i n'est pas une combinaison linéaire de $(u_i{)}_{i\in I^{\prime }}$. Nécessairement, i n'appartient pas à I'.
3. On remplace I' par $I^{\prime }\cup \{i\}$. La famille $(u_i{)}_{i\in I^{\prime }}$ est une sous-famille libre de $(u_i{)}_{i\in I}$. On réitère 2.

La boucle se termine en un nombre fini d'étapes lorsque $(u_i{)}_{i\in I^{\prime }}$ est une famille génératrice, donc une base de E.

Dans le cas général la première démonstration est due au mathématicien Georg Hamel, et repose nécessairement sur l'axiome du choix. La démonstration qui suit utilise le lemme de Zorn, qui lui est équivalent. Elle consiste à construire la base recherchée comme une famille libre maximale (ou une famille génératrice minimale).

Soit E un K-espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E Alors F possède un supplémentaire dans E, i.e. il existe un sous-espace vectoriel G de E tel que $E=F\oplus G$. En effet, c'est clair si F={0} ou F=E; sinon, on considère une base B de F qu'on complète en une base B' de E: l'espace engendré par les vecteurs de B' qui ne sont pas dans F convient.

Le corps des réels R est défini comme une extension du corps des rationnels Q, et en ce sens, il peut être vu comme un Q-espace vectoriel (la multiplication par un scalaire rationnel est simplement la multiplication usuelle de réels). Le théorème de la base incomplète implique l'existence d'une base $\mathcal{B}$de R comme Q-espace vectoriel. Les vecteurs de cette base forment un ensemble A , et si r et s appartiennent à A alors r-s est irrationnel. L'ensemble A n'est ni borélien ni Lebesgue-mesurable. Sa construction repose sur le théorème de la base incomplète et donc sur l'axiome du choix.