Théorème de la médiane

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Introduction

Le théorème de la médiane, ou théorème d'Apollonius, est une relation entre la longueur d'une médiane d'un triangle et la longueur de ses côtés.

Il existe plusieurs versions de ce théorème dont certaines font appel au produit scalaire.

Enfin, il existe aussi une relation vectorielle liant les vecteurs portés par les côtés et celui porté par la médiane.

Théorème de la médiane pour un triangle rectangle

Il existe un théorème de la médiane relatif au triangle rectangle

Théorème de la médiane - Dans tout triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l'hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Ce théorème possède une réciproque.

Réciproque du théorème de la médiane - Si dans un triangle, la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté, alors ce triangle est rectangle en le sommet opposé à ce côté.

Premier théorème de la médiane ou théorème d'Appolonius

Théorème d'Apollonius — Soit ABC un triangle quelconque, et AI la médiane issue de A. On a alors la relation suivante :

A B^{2} + A C^{2} = 2 B I^{2} + 2 A I^{2}

Ou encore :

A B^{2} + A C^{2} = \frac{1}{2} B C^{2} + 2 A I^{2}

Démonstration par le produit scalaire

Cette propriété est un cas simple de la réduction de la fonction scalaire de Leibniz : Il suffit de faire intervenir le point I dans chacun des deux carrés :

A B^{2} + A C^{2} = (A I + I B)^{2} + (A I + I C)^{2}

On développe :

A B^{2} + A C^{2} = A I^{2} + I B^{2} + 2 A I . I B + A I^{2} + I C^{2} + 2 A I . I C

Le point I est milieu de [BC], donc $I B$ et $I C$ sont opposés, ce qui implique que les produits scalaires s'éliminent et I**C = I**B donc

A B^{2} + A C^{2} = 2 A I^{2} + 2 I B^{2}

Démonstration n'utilisant que les théorèmes sur les distances

Une autre méthode, probablement celle d'Apollonius (comme il ne connaissait pas la fonction scalaire de Leibniz) est la suivante:

Soit H le pied de la hauteur issue de A. Nous avons BHA et AHC deux triangles rectangles; en y appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :

A B^{2} = B H^{2} + A H^{2}

A C^{2} = A H^{2} + H C^{2}

A I^{2} = I H^{2} + A H^{2}

On obtient donc:

A B^{2} + A C^{2} = B H^{2} + 2 A H^{2} + H C^{2}

On exprime d'une nouvelle manière BH et HC en fonction de BI et IH (en gardant en tête que I est le milieu de BC et donc BI=IC). Notez aussi que dans ce cas en particulier, le pied H de la hauteur issue de A "atterrit" sur le segment [BI], autrement dit entre B et I, mais cela marche pour tous les cas:

B H = B I - I H

H C = I C + I H = B I + I H

On remplace maintenant dans l'expression précédente :

A B^{2} + A C^{2} = (B I - I H)^{2} + 2 A H^{2} + (B I + I H)^{2}

A B^{2} + A C^{2} = B I^{2} - 2 B I . I H + I H^{2} + 2 A H^{2} + B I^{2} + 2 B I . I H + I H^{2}

A B^{2} + A C^{2} = 2 B I^{2} + 2 I H^{2} + 2 A H^{2} = 2 B I^{2} + 2 (I H^{2} + A H^{2})

Or, on sait que, d'après les triangles rectangles du départ:

I H^{2} + A H^{2} = A I^{2}

En remplaçant dans l'égalité précédente, on obtient:

A B^{2} + A C^{2} = 2 B I^{2} + 2 A I^{2}

Deuxième théorème de la médiane

Deuxième théorème de la médiane — Soient (ABC) un triangle et I le milieu du segment [BC]. Alors

A B \cdot A C = A I^{2} - \frac{1}{4} B C^{2}

La démonstration utilise la relation de Chasles et les identités remarquables. il suffit d'exprimer les vecteurs $A B$ et $A C$ en fonction de $A I$ et $I B$ .

Troisième théorème de la médiane

Troisième théorème de la médiane — Soient (ABC) un triangle et I le milieu du segment [BC]. On note H le projeté orthogonal de A sur (BC). Alors

$A B^{2} - A C^{2} = 2 B C \times I H$ .

Il suffit d'utiliser le produit scalaire et les identités remarquables :

A B^{2} - A C^{2} = (A B + A C) \cdot (A B - A C)

A B^{2} - A C^{2} = 2 A I \cdot C B

La projection de $A I$ sur $B C$ est $H I$ d'où

A B^{2} - A C^{2} = 2 H I \cdot C B

Ce produit scalaire de deux vecteurs colinéaires est égal à $B C \times I H$ ou son opposé, d'où la valeur absolue.

Forme vectorielle du théorème de la médiane

Soit I le milieu [BC], on a : $A B + A C = 2 A I$

Généralisation du théorème de la médiane à toute cévienne

Soit ABC un triangle. Une droite issue de A coupe [BC] en I. Soit $k = \frac{I C}{I B}$ . Alors :

A I^{2} = \frac{k A B ^{2} + A C ^{2}}{1 + k} - I B \times I C

Démonstration par produit scalaire

Il suffit de calculer la combinaison des deux carrés :

$k A B^{2} + A C^{2} = k (A I + I B)^{2} + (A I + I C)^{2}$ .

On développe :

k A B^{2} + A C^{2} = k (A I^{2} + I B^{2} + 2 A I . I B) + A I^{2} + I C^{2} + 2 A I . I C

Le point I est le barycentre de (B, k) et (C, 1), donc $k I B + I C = 0$ , ce qui élimine les deux produits scalaires.

et IC = k IB donc $k I B^{2} + I C^{2} = k I B^{2} + k^{2} I B^{2} = k (1 + k) I B^{2} = (1 + k) I B \times I C$ ,

d'où

$k A B^{2} + A C^{2} = (1 + k) (A I^{2} + I B \times I C)$ .

Et le résultat en divisant par 1 + k.