Le Théorème de Lie-Kolchin est un résultat de trigonalisabilité des sous-groupes connexes et résolubles du groupe des matrices complexes inversibles .
Définition — On dit que est trigonalisable s'il existe une base commune de trigonalisation à tout élément de E.
Théorème de Lie-Kolchin — Tout sous groupe connexe résoluble de est trigonalisable.
La preuve repose sur les deux lemmes suivants :
Lemme 1 — Soit une famille de matrices qui commutent de indexée par I un ensemble quelconque, alors est trigonalisable.
Lemme 2 — Si G est un sous-groupe connexe de alors son groupe dérivé est connexe.
Vient enfin la démonstration du théorème.