Théorème de Stokes

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Introduction

Articles d'analyse vectorielle

Objets d'étude
Champ vectoriel	Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace	de Poisson
Opérateurs
Nabla	Gradient
Rotationnel	Divergence
Laplacien scalaire	Bilaplacien
Laplacien vectoriel	D'alembertien
Théorèmes
de Green	de Stokes
de Helmholtz	de flux-divergence
du gradient	du rotationnel

En géométrie différentielle, le théorème de Stokes est un résultat central sur l'intégration de formes différentielles, qui généralise nombre de théorèmes sur l'analyse vectorielle. Après l'énoncé et la démonstration, cet article en propose nombre d'applications : en particulier, il fournit un formulaire qu'utilisent volontiers physiciens et ingénieurs, particulièrement en mécanique des fluides.

Théorème de Stokes — Soit M une variété différentielle orientée de dimension n, et ω une (n-1)-forme différentielle à support compact sur M de classe C. Alors, on a :

\int_{M} d ω = \int_{\partial M} i^{*} ω

où d désigne la dérivée extérieure, $\partial M$ le bord de M, muni de l'orientation sortante, et $i : \partial M \to M$ est l'inclusion canonique.

Le théorème est attribué à Sir George Gabriel Stokes, mais le premier à connaître ce résultat est en réalité William Thomson. Le mathématicien et le physicien entretiennent une correspondance active durant 5 ans de 1847 à 1853.

La preuve demande de disposer d'une bonne définition de l'intégration ; il faut se rendre compte que l'apparente simplicité de la démonstration actuelle est trompeuse.

Démonstration

L'idée est d'utiliser une partition de l'unité adaptée au problème dans la définition de l'intégrale d'une forme différentielle ; et de se ramener à un cas presque évident.

Soit {U_i}_I un recouvrement localement fini de M par des domaines de cartes locales $ϕ_{i} : U_{i} \to ϕ_{i} (U_{i}) \subset R^{n}$ , telles que :

ϕ_{i} (U_{i} \cap \partial M) = ϕ_{i} (U_{i}) \cap ({0} \times R^{n - 1})

Introduisons f_i une partition de l'unité subordonnée à {U_i}. Comme le support de ω est fermé, la forme différentielle ω s'écrit :

ω = \sum f_{i} ω

où la sommation est à support fini. Posons $β_{i} = ϕ_{i}^{*} [f_{i} ω]$ , forme différentielle à support compact de $M^{'} = R_{+} \times R^{n - 1}$ . La restriction $ϕ_{i} ∣_{\partial M}$ est un difféomorphisme sur son image préservant les orientations sortantes. On a donc :

\int_{\partial M} [f_{i} ω] = \int_{\partial M^{'}} β_{i}

Comme $ϕ_{i}^{*}$ commute avec l'opérateur de différentiation d, on a :

\int_M\! \mathrm d\left[f_i\omega\right]=\int_{M'}\! \mathrm \mathrm d\beta_i

Par sommation, le théorème de Stokes est démontré une fois établi le cas particulier $M^{'} = R_{+} \times R^{n - 1}$ .

Une (n-1)-forme ω sur $M = R_{+} \times R^{n - 1}$ s'écrit :

ω = i = 1 \sum n f_{i} \cdot d x_{1} \land \dots \land d x_{i} \land \dots \land d x_{n}

où le chapeau désigne une omission. On trouve alors :

d ω = \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial f _{i}}{\partial x _{j}} d x_{j}) \land d x_{1} \land \dots \land d x_{i} \land \dots \land d x_{n} = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} \frac{\partial f _{i}}{\partial x _{i}} d x_{1} \land \dots \land d x_{n} .

Le théorème de Fubini donne :

\int_{R_{+} \times R^{n - 1}} d ω = \sum_{i = 1}^{n} \int_{R_{+} \times R^{n - 1}} (- 1)^{i - 1} \frac{\partial f _{i}}{\partial x _{i}} d x_{1} \dots d x_{n} = \int_{R^{n - 1}} (\int_{0}^{+ \infty} \frac{\partial f _{1}}{\partial x _{1}} d x_{1}) d x_{2} \dots d x_{n} + \sum_{i = 2}^{n} \int_{R_{+} \times R^{n - 2}} (- 1)^{i - 1} (\int_{R} \frac{\partial f _{i}}{\partial x _{i}} d x_{i}) d x_{1} \dots d x_{i} \dots d x_{n} .

L'hypothèse que la forme ω est à support compact permet alors de finir le calcul, car les termes $\int_{R} \frac{\partial f _{i}}{\partial x _{i}} d x_{i}$ pour $i \geq 2$ sont tous nuls :

\int_{R_{+} \times R^{n - 1}} d ω = \int_{R^{n - 1}} f_{1} (0, x_{2}, \dots, x_{n}) d x_{2} \dots d x_{n} = \int_{R^{n - 1}} i^{*} ω

D'où le résultat.

Théorème fondamental de l'intégration

Si f est une fonction $C^{\infty}$ de la variable réelle, alors f est une forme différentielle de degré zéro, dont la différentielle est $f^{'} (x) d x$ . Le bord orienté de [a,b] est {b} − {a} (extrémité avec l'orientation + et origine avec l'orientation -), quelles que soient les valeurs relatives de a et b. La formule de Stokes donne dans cette situation :

\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a) .

En fait, le théorème de Stokes est la généralisation de cette formule aux dimensions supérieures. La difficulté se trouve bien davantage dans la mise en place du bon cadre (formes différentielles, variétés à bord ou éventuellement plus générales, orientations) que dans la démonstration, qui repose sur le théorème fondamental de l'intégration et un argument de partition de l'unité.

Formule de Green-Riemann

Soit U un domaine compact lisse de $R^{2}$ et $α = f \cdot d x + g \cdot d y$ une 1-forme différentielle sur $R^{2}$ . Alors, la formule de Stokes s'écrit :

\int_{\partial U} α = \int_{\partial U} [f \cdot d x + g \cdot d y] = \iint_{U} [\frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}] d x d y

La formule de Green-Riemann est utilisée en géométrie pour démontrer l'inégalité de Poincaré.

Formule d'Ostrogradsky

Soit U un domaine compact à bord lisse de $R^{3}$ , et posons $η = d x \land d y \land d z$ . Si X est un champ de vecteurs au voisinage de l'adhérence de U, alors sa divergence vérifie :

d [ι_{X} ω] = div (X) \cdot ω

La formule de Stokes donne alors :

\int_{\partial U} [f \cdot d y \land d z + g \cdot d z \land d x + h \cdot d x \land d y] = ∭_{U} [\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} + \frac{\partial h}{\partial z}] d x d y d z

Sens physique de la formule de Stokes

Notons $d S$ le champ de vecteurs normal sortant d'un domaine U relativement compact à bord régulier. Soit X un champ de vecteurs défini au voisinage de l'adhérence de D. On définit la forme surfacique sur $\partial U$ par :

η = ι (N) (d x \land d y \land d z)_{\partial U}

On définit le flux de X par :

\oint_{\partial U} X d S = \int_{\partial U} ⟨ X ∣ N ⟩ \cdot η

La formule d'Ostrogradsky se réécrit alors :

\oint_{\partial U} X d S = \int_{U} (div X) d x d y d z

Soit $\partial S$ , une courbe fermée orientée dans $R^{3}$ , S une surface orientée dont le contour est $\partial S$ . L'orientation de $\partial S$ est induite par l'orientation de S. Si le champ vectoriel $V$ admet des dérivées partielles continues, alors :

\oint_{\partial S} V \cdot d l = \iint_{S} rot V \cdot d S

où $d l$ est le vecteur directeur de la courbe en tout point, $\overrightarrow\mathrm{rot}\ \vec V= \vec\nabla \wedge \vec V$ le rotationnel de $V$ , et $d S$ le vecteur normal à un élément de surface infinitésimal dont la norme est égale à la surface de l'élément.

Son application directe est le théorème d'Ampère (on l'applique au champ magnétique).

Application à l'homologie

La formule de Stokes est utilisée pour démontrer le théorème de dualité de De Rham.

La formule de Stokes permet aussi de démontrer le lemme de Poincaré. Ce dernier s'avère d'une grande utilité pour comprendre les isotopies en homologie. Il est aussi utilisé notablement dans la preuve du théorème de Darboux en géométrie symplectique.