Théorème de Wantzel

Le théorème de Wantzel précise les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un nombre soit constructible. Il peut s'énoncer de la manière suivante

Le réel a est constructible si et seulement s'il existe une suite finie de corps L_i tels que

• L₀ = $\mathbb{Q}$
• L_i+1 est une extension quadratique de L_i
• le réel a appartient à L_n .

Pierre-Laurent Wantzel donne alors une condition nécessaire pour qu'un nombre a soit constructible :

Si le réel a est constructible alors son polynôme minimal est de degré 2

Cette condition nécessaire permet (par sa contraposée) de démontrer que la duplication du cube et la trisection de l'angle ne sont pas réalisables à la règle et au compas.

Toutefois, cette condition nécessaire n'est pas suffisante. Par exemple, le polynôme x + 2x - 2 est bien irréductible de degré 4 mais ses racines ne sont pas constructibles (voir la démonstration).

Article détaillé: Nombre constructible

Les Grecs ne pouvaient imaginer que des nombres positifs constructibles. Il faut pour suivre la démonstration élargir le champ des nombres constructibles en ajoutant la condition : si a est constructible alors - a est constructible.

D'où une nouvelle définition des nombres constructibles : est constructible toute coordonnée d'un point constructible.

La démarche est alors la suivante : si K est un corps de nombres constructibles, on considère, dans le plan, tous les points dont les coordonnées appartiennent à K, l'ensemble E_K. Quels sont les points que l'on peut construire à la règle et au compas à partir des points de E_K ?

• Le point d'intersection de deux droites
• Le point d'intersection d'un cercle et d'une droite
• Le point d'intersection de deux cercles

Intersection de deux droites

Deux droites (AB) et (CD) dont les points A, B, C, D sont dans E_K ont pour équation

ax + by + c = 0 et ux + vy + t = 0 où a, b, c, u, v, t sont des éléments de K

Trouver les coordonnées (x , y) du point d'intersection I de ces deux droites revient à résoudre un système d'équations linéaires dans K. Les réels x et y sont éléments de K. Le point I appartient à E_K.

Intersection d'une droite et d'un cercle

La droite (AB) a pour équation ax + by + c = 0 et le cercle de centre C passant par D a pour équation x² + ux + y² + vy + t = 0.

Trouver les coordonnées des points d'intersection du cercle et de la droite revient, par substitution, à résoudre une équation du second degré sur K :P₂(x) = 0 ou P₂(y) = 0. Si le point d'intersection existe, ou bien cette équation possède des solutions dans K, ou bien cette équation est irréductible sur K mais possède des solutions dans l'extension quadratique L = K(X)/P₂. Alors tous les réels de L sont aussi constructibles car ils s'écrivent a + bx où a et b sont dans K et x est solution de P₂(x) = 0

Intersection de deux cercles

Trouver l'intersection de deux cercles revient à trouver l'intersection d'un cercle avec une droite car le système

x² + ax + y² + by + c = 0 et x² + ux + y² + vy + t = 0

équivaut au système

x² + ax + y² + by + c = 0 et (a - u)x + (b - v) y + c - t = 0.

Les coordonnées des points d'intersections appartiennent alors, soit à K soit à une extension quadratique de K constituée de nombres constructibles.

Conclusion

Un nombre est constructible si et seulement si on peut le construire en n étapes comme intersection de deux cercles, de deux droites ou d'un cercle et d'une droite, en partant de points dont les coordonnées sont rationnelles.

À chaque étape, ou bien les coordonnées reste dans le corps K de nombres constructibles d'origine ou bien « saute » dans une extension quadratique de celui-ci. Il existe bien une suite d'extensions quadratiques vérifiant les conditions requises.

Article détaillé: Tour d'extension quadratique

La force du théorème de Wantzel est de dire que, puisque a appartient au dernier maillon d'un chaîne d'extensions quadratiques, il est solution d'une équation de degré 2 sur $\mathbb{Q}$. Mais il démontre aussi que ce polynôme est irréductible : a ne peut pas être solution d'un polynôme de degré inférieur. Le polynôme caractéristique de a est nécessairement de degré 2.

En conséquence, comme le polynôme caractéristique de $\sqrt{(}lien)2$ est x - 2 = 0 de degré 3, il n'est pas constructible.

Enfin, réaliser la trisection de l'angle revient à construire, à partir du point de coordonnées (a , b)

a=cos(θ) et b =sin(θ)

le point de coordonnées

(cos(q) ,sin(q)) avec q = θ/3.

En utilisant la formule trigonométrique

cos(3q) = 4cos(q) - 3cos(q)

on s'aperçoit que cos(q) doit être solution de l'équation:

4x - 3x = a

qui est de degré 1 ou de degré 3 sur $\mathbb{Q}[a]$. Donc la construction n'est pas toujours réalisable.

Dans la même publication, Pierre-Laurent Wantzel, complète les travaux de Gauss sur les polygones constructibles dans ce qu'on appelle désormais le théorème de Gauss-Wantzel.

• Jean Claude Carréga: Théorie des corps, la règle et le compas . Hermann 1981