En mathématiques, les trois théorèmes d'isomorphisme fournissent l'existence d'isomorphismes dans le cadre de la théorie des groupes.
Ces trois théorèmes d'isomorphisme sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment à Algèbre universelle.
Le premier théorème d'isomorphisme affirme qu'étant donné un morphisme de groupes , on peut rendre f injectif en quotientant G par son noyau.
Intuitivement, quotienter un groupe G par un sous-groupe H revient à « annuler » les éléments de H. En quotientant par le noyau de f, on fait donc en sorte que f(x) = 1 ne soit vrai que pour x = 1, ce qui est équivalent à l'injectivité de f.
Pour pouvoir parler de morphisme de groupes , il faut d'abord s'assurer que le quotient est muni d'une structure de groupe.
Proposition — Soient G et G' deux groupes et soit un morphisme de groupes. Alors est un sous-groupe normal de G.
Le fait que soit un sous-groupe normal de G permet de définir sur le groupe quotient une loi de groupe compatible avec celle de G. Grâce à cette compatibilité, le morphisme de groupes induit un morphisme .
On peut maintenant énoncer le théorème.
Premier théorème d'isomorphisme — Soient G et G' deux groupes, et soit un morphisme de groupes. Alors f induit un isomorphisme de vers f(G).
Une autre formulation possible du théorème précédent est que le morphisme f se factorise par la surjection et l'injection canoniques, c'est-à-dire que le diagramme qui suit est commutatif.
Factorisation d'un morphisme
Deuxième théorème d'isomorphisme — Soient G un groupe, N un sous-groupe normal de G et H un sous-groupe de G. Alors est un sous-groupe normal de H, et on a l'isomorphisme suivant :
Troisième théorème d'isomorphisme — Soient G un groupe, N et M deux sous-groupes normaux de G. Alors N / M est alors un sous-groupe normal de G / M et on a l'isomorphisme suivant :