En mathématiques, la théorie des ensembles de Morse–Kelley est une théorie axiomatique du premier ordre dont les objets sont des classes ; contrairement à celle de Von Neumann-Bernays-Gödel, c'est une extension propre de la théorie classique.
Les deux théories, désignées par MK et NBG respectivement, partagent une même ontologie : l'univers du discours consiste en classes ; si une classe est élément d'autres elle est appelée «ensemble» sinon c'est une «classe propre» dont le symbole ne peut se placer à gauche du signe d'appartenance; les énoncés primitifs ont la forme de l'égalité [X=Y] ou de l'appartenance [x∈Y].
À l'exception du schéma de compréhension pour les classes, les axiomes de MK sont les mêmes que ceux de NBG, à quelques détails de formulation près. L'écriture obéit à certaines conventions :
Les lettres majuscules autres que «M» dénotent des variables de classes quelconques ;
Les lettres minuscules dénotent des variables d'ensembles ;
Les expressions équivalentes «x est un ensemble», «il existe Y telle que x∈Y» s'abrègent en «M(x)» ou «Mx» ;
L'ensemble vide est défini par :
La classe universelle, que les Anglo-Saxons appellent « univers de Von Neumann », est définie par :
L'axiome d'extensionnalité affirme que deux classes qui ont les mêmes éléments sont égales :
L'axiome de fondation affirme que toute classe non vide est disjointe d'au moins un de ses éléments : ![\forall A [A \not = \varnothing \rightarrow \exist b (b \in A \and \forall c (c \in b \rightarrow c \not\in A))]](https://static.techno-science.net/illustrations/definitions/380px/9/937a518b7dde65b204defe5aa66a36c0_24487c75650891864dc498f04234771b.png)
L'axiome de la paire permet l'existence d'un ensemble formé de n'importe quels deux éléments :
![\forall x \, \forall y \, [ (M(x) \and M(y)) \rightarrow \exist z \, (M(z) \and \forall s \, [ s \in z \leftrightarrow (s = x \, \or \, s = y)])]](https://static.techno-science.net/illustrations/definitions/574px/5/54d38015d15912557cf7de1a4f2b2f3d_aea7eb764929cdc5b4fa5bd378bb5b57.png)
L'axiome de la réunion affirme que la classe des éléments des éléments d'un ensemble est un ensemble ; ici, l'on n'a pas besoin de postuler l'existence de cette classe, seulement qu'elle est un ensemble ; en effet son existence s'établit à partir du schéma de compréhension pour les classes ; il en résulte une formulation de l'axiome différente de celle de Zermelo, la variable s étant universellement – au lieu d'existentiellement – quantifiée :
![\forall a \, \forall s \, [(M(a) \and \forall x \, [x \in s \leftrightarrow \exist y \, (x \in y \and y \in a)]) \rightarrow M(s)]](https://static.techno-science.net/illustrations/definitions/482px/6/6dc9256211de1fa324d01f5c2d4d50f4_8f55f88cc6f1f189dace2d8b3c38cd22.png)
L'axiome de l'ensemble des parties affirme que la classe des sous-ensembles d'un ensemble a est un ensemble ; la remarque faite plus haut en ce qui concerne la classe de réunion s'applique ici de la même manière, il y a ipso facto une classe des sous-ensembles de a, donc la variable p est universellement quantifiée :
![\forall a \, \forall p \, [(M(a) \and \forall x \, [x \in p \leftrightarrow \forall y \, (y \in x \rightarrow y \in a)]) \rightarrow M(p)]](https://static.techno-science.net/illustrations/definitions/493px/f/f1b77c1509b1b829c90cd4d79de61e07_dc4b68fd21b996d3a7260301b4044553.png)
L'axiome de l'infini affirme l'existence d'un ensemble y ayant pour membre Ø et tel que pour tout z, si z est élément de y il en est de même de zU{z}:
![\exist y[M(y) \and \varnothing \in y \and \forall z(z \in y \rightarrow \exist x [x \in y \and \forall w (w \in x \leftrightarrow [w = z \or w \in z])] )]](https://static.techno-science.net/illustrations/definitions/637px/e/ea7d92465ce88a70c1ceaf926c6720d2_2c31fd627cb9a45b265e3d678574e051.png)
L' axiome de limitation affirme qu'un objet C est une classe propre si et seulement s'il existe une bijection de la classe universelle sur C :
![\forall C [\lnot M(C) \leftrightarrow \exist F (\forall x [M(x) \rightarrow \exist s (s \in C \and \langle x,s \rangle \in F)]\and](https://static.techno-science.net/illustrations/definitions/477px/a/ac72019b7dcbad64fafa53eeff15adbc_d0db73151618d4e0e3ef14179801e797.png)
![\forall x \forall y \forall s [(\langle x,s \rangle \in F \and \langle y,s \rangle \in F)\rightarrow x=y])]](https://static.techno-science.net/illustrations/definitions/369px/9/91a883ff8305fd40dad1aaa6e276f73b_ba746f18cbec1a0ce43ad459e946afa2.png)
On en vient maintenant au principe majeur de la théorie de Morse-Kelley : le schéma de compréhension pour les classes.
Soit φ(x) n'importe quelle formule du langage de MK dans laquelle la variable x est libre. Les paramètres de φ(x) peuvent être aussi bien des classes propres que des ensembles ; et les variables liées dans φ(x) peuvent être des variables de classes quelconques et non d'ensembles uniquement ; c'est par ce seul trait que MK diffère de NBG.
Alors il existe une classe Y :
dont les éléments sont exactement ceux pour lesquels φ(x) se trouve être vraie. Si Y n'est pas une variable libre dans φ(x) :
![\forall W_1 ... W_n \exist Y \forall x [x \in Y \leftrightarrow (\varphi(x, W_1, ... W_n) \and Mx)]](https://static.techno-science.net/illustrations/definitions/417px/6/630e54c42aaf3c60cdbeb6aacdd55ea2_2311ce3c5e6b4221ef49c4c94842d710.png)
J. Rubin en 1967, Monk en 1980, Mendelson en 1997, ont développé des travaux de théorie des ensembles basés sur le système MK. Ils avancent que ce système correspond à ce que l'on peut attendre d'une théorie des ensembles tout en étant plus maniable que les théories de Zermelo-Fraenkel et von Neumann-Bernays-Gödel.
La théorie de Morse-Kelley est strictement plus forte que ZFC et son extension conservative NBG. En fait, sa consistance entraîne celle de ces deux théories.
Mais si l'on ajoute à ZFC l'existence d'un cardinal fortement inaccessible, la consistance de la théorie ainsi obtenue entraîne celle de MK.
Le schéma de compréhension pour les classes ne se peut réduire à une liste finie d'axiomes du premier ordre : on dit que la théorie n'est pas fini-axiomatisable comme l'est par contre NBG.
L'axiome de limitation a pour conséquence l'axiome du choix, dans sa forme forte ; la classe V des ensembles peut être bien ordonnée. Comme dans NBG, c'est une classe propre. Rubin, Monk et Mendelson remplacent l'axiome de limitation par la conjonction de l'axiome du choix usuel et de l'axiome de substitution, lequel dans ce cadre exprime que si le domaine de définition D d'une fonction F est un ensemble, F(D) est aussi un ensemble.
La variante Rubin admet, en plus des classes propres et des ensembles, des uréléments, objets individuels dont le symbole ne peut se placer à droite du signe d'appartenance.
La théorie fut développée pour la première fois en 1955 par J.L. Kelley comme appendice de son ouvrage General Topology. Le système développé par Anthony Morse en 1965 dans A Theory of Sets est équivalent et exposé dans un langage formel très particulier se démarquant des notations standard de la logique du premier ordre.