Transformation de Möbius

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Introduction

La transformation de Möbius ne doit pas être confondue avec la transformée de Möbius

Les transformations de Möbius sont de manière générale des automorphismes du compactifié d'Alexandrov de $R^{n}$ noté $\hat{R^{n}}$ , définies comme la composée d'un nombre fini d'inversions par rapport à des plans ou des sphères.

En particulier, si on identifie $\hat\mathbb{R}^2$ à $\hat\mathbb C$ , alors on peut prouver que les transformations de Möbius conservant l'orientation sont de la forme:

$M : z \to \frac{a z + b}{cz + d}$ avec a, b, c et d quatre complexes tels que $a d - b c \neq = 0$

On étend alors cette fonction à $\hat\mathbb C$ en posant :

$M (- \frac{d}{c}) = \infty$ et $M (\infty) = \frac{a}{c}$ .

Définition générale

Soit $n \in N$ , on se place dans $\hat\mathbb R^n$ , et on définit alors les inversions de $\hat\mathbb R^n$ par rapport à un plan ou à une sphère:

pour un hyperplan ( $a \in R^{n}, t \in R$ ), l'inversion par rapport à P(a,t) notée σ_P(a,t) est la réflexion par rapport à l'hyperplan P(a,t) et a pour expression:

$σ_{P (a, t)} (x) = x - 2 ((x \cdot a) - t) a /∣ a ∣^{2}$ si $x \in R^{n}$

σ_{P (a, t)} (\infty) = \infty

pour une sphère $S (a, r) = {x \in R^{n}, ∣ x - a ∣ = r}$ ( $a \in R^{n}, r \in R^{+}$ ) (, l'inversion par rapport à S(a,r) notée σ_S(a,r) s'exprime:

$σ_{S (a, r)} (x) = a + \frac{r ^{2} ( x - a )}{∣ x - a ∣ ^{2}}$ si $x \in R^{n}$

$σ_{S (a, r)} (\infty) = a$ et $σ_{S (a, r)} (a) = \infty$

On remarque que les inversions sont involutives: si σ est une inversion, σ = I**d

De plus, ces inversions sont des homéomorphismes.

Définition: L'ensemble des transformations de Möbius, est le sous-groupe des homéorphismes de $\hat\mathbb R^n$ généré par les inversions, c'est-à-dire l'ensemble des composées d'un nombre fini d'inversions. On le note souvent $\mathcal GM (\hat\mathbb R^n)$ .

Définition: Le groupe de Möbius $M (\hat{R^{n}})$ est l'ensemble des transformations de Möbius qui préservent l'orientation. C'est un sous-groupe de $\mathcal GM (\hat\mathbb R^n)$ .

Exemples de transformations de Möbius

Les principaux exemples de transformations de Möbius sont:

Les translations (par composition de deux réflexions)
Les isométries de $R^{n}$ (par composition de n réflexions au plus)
Les homothéties 'par composition de deux inversions par rapport à des sphères puis d'une isométrie)

Une transformation de Möbius particulière est très utile en géométrie hyperbolique: l'inversion dans $R^{n + 1}$ par rapport à la sphère $S (e_{n + 1}, 2)$ , qui restreinte à $R^{n}$ correspond à la projection stéréographique de $R^{n}$ sur S_n = S(0,1) dans $R^{n + 1}$ . C'est en fait le difféomorphisme naturel entre $H_{n + 1}$ et B_{n + 1} = {x, | x | < 1}: il fait le pont entre deux points de vue pour la géométrie hyperbolique.

Propriétés générales

Dorénavant, on appelle sphère soit une sphère soit un plan (Beardon, The Geometry Of Discrete Groups). En remarquant que les inversions transforment les sphères en sphères, on obtient:

Propriété: Les transformations de Möbius transforment les sphères en sphères

ce qui constitue une de leurs caractéristiques fondamentales.

Le théorème suivant est tout aussi important:

Théorème: Soit Σ une sphère et φ une transformation de Möbius qui fixe chaque point de Σ. Alors soit φ est l'identité, soit φ est l'inversion par rapport à Σ.

Il permet notamment de montrer l'unicité de l' extension de Poincaré d'une transformation $ϕ \in G M (R^{n})$ : c'est l'unique élément $\tilde{ϕ} \in G M (R^{n + 1})$ qui conserve $H^{n + 1} = {x, x_{n + 1} > 0}$ tel que $\tilde{ϕ}_{∣ R^{n}} = ϕ$ si l'on considère $R^{n}$ comme un sous ensemble de $R^{n + 1}$ dont la n+1 ième coordonnée est nulle. Pour démontrer l'existence d'une telle extension, il suffit de la définir pour les inversions, l'extension d'une composée d'inversions étant alors la composée des extensions de ces inversions. Si $a \in R^{n}$ , on note $\tilde{a}$ l'élément de $R^{n + 1}$ dont les n premières coordonnées sont celles de a, la n+1 ième étant nulle. L'inversion par rapport à P(a,t) sera alors naturellement étendue en l'inversion par rapport à $P (\tilde{a}, t)$ , et de même $\tilde{σ}_{S (a, r)} = σ_{S (\tilde{a}, r)}$ . On a la propriété remarquable suivante:

Propriété: L'extension de Poincaré de $ϕ \in G M (R^{n})$ est une isométrie de $H^{n + 1}$ muni de la métrique hyperbolique $\frac{d x}{x _{n + 1}}$ .

Les transformations de Möbius du plan complexe

Forme générale

Les transformations de Möbius conservant l'orientation sont de la forme

$g (z) = \frac{a z + b}{cz + d}$ avec $a d - b c \neq = 0$

Réciproquement une telle fonction est bien une transformation de Möbius par composition des fonctions suivantes ( $g = f_{4} \circ f_{3} \circ f_{2} \circ f_{1}$ ):

$f_{1} (z) = z + d / c$ (translation)
$f_{2} (z) = 1/ z$ (inversion par rapport à la sphère unité puis réflexion par rapport à la droite réelle)
$f_{3} (z) = (- (a d - b c) / c^{2}) \cdot z$ (homothétie)
$f_{4} (z) = z + a / c$ (translation)

Détermination d'une transformation de Möbius du plan

La résolution de g(z)=z montre qu'une transformation de Möbius est uniquement déterminée par l'image qu'elle donne de trois points distincts. Mieux, si z₁,z₂ et z₃ sont des points tous distincts ainsi que w₁,w₂,w₃, alors il existe une unique transformation de Möbius $g \in M (\hat{C})$ telle que g(z1) = w1, g(z2) = w2 et g(z₃) = w₃.

Pour montrer l'existence de g, il suffit de "déplacer" les points en composant g avec d'autres transformations. La transformation de Möbius $A (z) = \frac{( z - z _{1} ) ( z _{2} - z _{3} )}{( z - z _{3} ) ( z _{2} - z _{1} )}$ vérifie: A(z₁) = 0, A(z₂) = 1 et $A (z_{3}) = \infty$ , et de même on peut construire B telle que B(w₁) = 0, B(w₂) = 1 et $B (w_{3}) = \infty$ . Alors la transformation g = B A répond à la question.

Représentation par des matrices

On remarque que à la matrice $A = (a b c d)$ ( $a d - b c \neq = 0$ ) on peut faire correspondre la transformation de Möbius g_A telle que $g_{A} (z) = \frac{a z + b}{cz + d}$ . De plus un calcul algébrique trivial montre que: $g_{A B} = g_{A} \circ g_{B}$ : on a ainsi un morphisme de groupe $ϕ : A \mapsto g_{A}$ entre $G l_{2} (C)$ et $M(\hat\mathbb C)$ .

De plus, pour tout $λ \in C^{*}$ , g_λA = g_A, donc on en restreignant φ à $S l_{2} (C)$ on a toujours une surjection dont le noyau est { − I₂, + I₂}. On a ainsi:

\mathcal M(\hat\mathbb C)\cong\mathbb P\mathcal{S}l_2(\mathbb C)=\mathcal{S}l_2(\mathbb C)/\{-I_2,+I_2\}

Extension de Poincaré

Nous avons vu dans les propriétés générales que les transformations de Möbius admettent une extension de Poincaré. Nous allons l'expliciter dans le cas d'une transformation du plan complexe en considérant $R^{3}$ comme le $R$ sous espace vectoriel du corps des quaternions de base (1,i,j). Si on a $g (z) = \frac{a z + b}{cz + d}$ alors son extension de Poincaré a pour expression, pour tout $z \in C, t \in R_{*}^{+}$ :

\tilde{g} (z + t j) = \frac{( a z + b ) ( cz + d ) + a c ˉ t ^{2} + ∣ a d - b c ∣ t j}{∣ cz + d ∣ ^{2} + ∣ c ∣ ^{2} t ^{2}}

Classification

En résolvant l'équation g(z) = z, on s'aperçoit qu'une transformation de Möbius du plan ne peut admettre que 1 ou 2 points fixes, ce qui pourrait être un critère de classification. Cependant, un critère plus précis est le nombre de points fixes de leur extension de Poincaré (1, 2 ou une infinité): si on définit les transformations normales m_k, $k \in C$ par

$m_{k} : z \mapsto k z$ si $z \neq = 1$

m_{1} : z \mapsto z + 1

on s'aperçoit que chaque transformation de Möbius est conjuguée à une unique transformation normale m_k, avec k = 1 ssi $\tilde{g}$ possède 1 point fixe, $∣ k ∣ = 1, k \neq = 1$ ssi $\tilde{g}$ a 2 point fixe, et $∣ k ∣ \neq = 1$ ssi $\tilde{g}$ a une infinité de points fixes. Enfin, la trace au carré d'un représentant $A \in P S l_{2} (C)$ de g (qui est invariante par conjugaison et caractérise m_k modulo les conjugaisons) permet elle aussi de caractériser le nombre de points fixes de $\tilde{g}$ . On définit alors les termes de transformation loxodromique, parabolique ou elliptique, ce qui est résumé dans le tableau suivant:

Transformation	Points fixes de $\tilde{g}$	Trace au carré σ	Forme normale	Représentant
Parabolique	1	σ = 4	m₁	$(1 a 0 1)$	$z \mapsto z + a$
Loxodromique	2	$σ \in C, σ \neq \in [0, 4]$	$m_{k}, ∣ k ∣ \neq = 1$ k = λ,λ	$(λ 00 λ^{- 1})$	$z \mapsto k z$
Elliptique	$\infty$	$0 \leq σ < 4$	m_k, \| k \| = 1, $k = e^{\pm i θ} \neq = 1$	$(e^{i θ /2} 00 e^{- i θ /2})$	$z \mapsto e^{i θ} z$

On peut encore affiner cette classification dans le cas loxodromique: g sera hyperbolique si sa trace au carré est réelle, strictement loxodromique dans le cas contraire.

Projection stéréographique

La projection stéréographique envoie le plan complexe sur la sphère de Riemann, sur laquelle on aperçoit plus aisément l'action des transformations de Möbius, comme en témoignent les représentations suivantes.

	Elliptique	Hyperbolique	Loxodromique
Un point fixe à l'infini
Points fixes diamétralement opposés
Points fixes arbitraires