Isométrie

En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie est donc un cas particulier de similitude.

Si cette isométrie conserve aussi les angles orientés, alors ils s'agit d'un déplacement. Si elle inverse les angles orientés, il s'agit d'un antidéplacement.

Le terme isométrie est parfois un peu vague. Usuellement, il renvoie aux isométries affines, c’est-à-dire aux transformations bijectives d'un espace affine euclidien dans un autre qui conseve les distances. On généralise au tranformations bijectives d'un espace métrique dans un autre qui conserve les distances. Dans un cadre linéaire, on parle parfois d'isométrie vectorielle, c’est-à-dire d'automorphisme qui conserve le produit scalaire, mais il est plus prudent dans ce cadre de parler d'automorphisme orthogonal.

On désigne par $\mathcal{P}$ le plan (i.e., plus précisément, un plan affine réel euclidien orienté). Les applications suivantes sont des isométries de $\mathcal{P}$:

• Étant donné un vecteur $\vec{u}$ l'application qui, à tout point A, associe le point A' tel que $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{u}$: c'est la translation de vecteur $\vec{u}$. Sa réciproque est la translation de vecteur $-\vec{u}$. Elle n'a aucun point fixe, sauf si $\vec{u}=\vec{0}$, auquel cas c'est l'identité. Les translations sont des déplacements.
• Étant donnée une droite Δ l'application qui, à tout point A, associe le point A' tel que $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=2\overrightarrow{AH}$, où H est le projeté orthogonal de A sur Δ: c'est la réflexion d'axe Δ. On peut la définir autrement: A' = A si $A\in \Delta$ et, si $A\notin \Delta$, A' est tel que Δ est la médiatrice de [A**A']. Les réflexions sont involutives et sont des antidéplacements.
• Étant donné un point A de $\mathcal{P}$ et un réel θ l'application qui fixe A et, à un point B distinct de A, associe l'unique point B' tel que A**B = A**B' et une mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A{B}^{\prime }})$ est θ: c'est la rotation de centre A et d'angle θ. La réciproque de la rotation de centre A et d'angle θ est la rotation de centre A et d'angle − θ. Enfin, les rotations sont des déplacements.

• Une isométrie du plan ayant trois points fixes non alignés est l'identité.
• Une isométrie du plan autre que l'identité ayant au moins deux points fixes A et B est la réflexion par rapport à la droite (AB).
• Une isométrie du plan ayant un unique point fixe A est une rotation de centre A.