Vague

Une vague est un mouvement oscillatoire de la surface d'un océan, d'une mer ou d'un lac. Les vagues sont générées par le vent et ont une amplitude crête-à-crête allant de quelques centimètres à 34 m (112 pieds), la plus haute vague jamais observée (Bascom 1959). Les vagues rencontrées en mer sont irrégulières: des séries de vagues hautes (les groupes) sont suivies par des vagues plus petites. Des « vagues scélérates » beacoup plus hautes que la moyenne sont observées assez rarement, mais peuvent causer des dommages importants aux navires du fait de l'effet de surprise. Toutefois, ces vagues scélérates ne sont pas les plus hautes observées du fait de leur rareté. En effet, une vague moyenne d'une très grosse tempête est plus haute qu'une vague scélérate d'un état de mer moyen. On peut bien sûr penser que la plus haute vague possible serait une vague scélérate dans une énorme tempête, mais il n'en existe pas d'observation. Les séismes de forte puissance, éruptions volcaniques ou chutes de météorites créent également des vagues appelées tsunamis ou raz-de-marée, mais qui n'ont rien à voir avec la marée. La marée est à l'origine des mascarets qui se produisent lorsque l'onde de marée rencontre un courant opposé et de vitesse égale.

Les vagues sont des ondes de gravité.

La théorie d'Airy décrit une vague comme une onde périodique possédant une surface libre de forme sinusoïdale. Il s'agit d'une représentation très simplifiée de la réalité, valable en principe pour des vagues de faible cambrure. La cambrure est définie comme le rapport de la hauteur sur la longueur d'onde. Cette théorie est néanmoins efficace pour résoudre de nombreux problèmes pratiques, à condition de savoir associer des caractéristiques pertinentes au phénomène naturel beaucoup plus compliqué qui sera évoqué ci-dessous.

Si on regarde avec attention les vagues en mer, on constate que la plupart d'entre elles ne sont pas sinusoïdales: les crêtes sont plus pointues, les creux plus aplatis. Cet aspect est pris en compte en remplaçant l'approximation d'Airy, au premier ordre, par des approximations périodiques d'ordre supérieur généralement attribuées à Stokes.

En observant la succession des vagues, on s'aperçoit qu'elles ne présentent aucune régularité : il n'y a jamais deux vagues identiques. On est ainsi amené à donner d'un état de mer une description spectrale qui le représente comme une somme d'une infinité d'ondes infiniment petites. Quand on veut, comme précédemment, utiliser une vague régulière pour simuler approximativement le phénomène naturel, on la caractérise généralement par sa hauteur significative, moyenne du tiers supérieur des hauteurs apparentes (crête-creux), et par une période proche de celle qui contient le plus d'énergie. Cette description basée sur une simple sommation de vagues d'Airy ne prend pas en compte les non-linéarités introduites par Stokes, imperfections dont on se satisfait très généralement.

Ce dernier modèle, adéquat pour la houle observée loin de la zone de génération par le vent, doit être corrigé pour la mer du vent. Celle-ci superpose des ondes qui différent non seulement par leur longueur d'onde mais aussi par leur direction, ce qui donne à la mer son aspect désordonné (vagues à courtes crêtes). Faute de mieux on suppose, là aussi, que la superposition est conforme à la théorie linéaire.

Un modèle simple établi par Airy permet d'obtenir quelques caractéristiques des vagues.

Relation de dispersion

Le mouvement des vagues peut être considéré comme irrotationnel, il dérive donc d'un potentiel. Comme l'eau est pratiquement incompressible, ce potentiel satisfait l'équation de Laplace. Les solutions périodiques de faible amplitude obéissent à une relation de dispersion

avec $\omega =2\pi /T$ la pulsation de l'onde, $T$ la période de la houle , $g$ l'intensité de la pesanteur, $k=2\pi /L$ le nombre d'onde, $L$ la longueur d'onde de la houle et $H$ la profondeur de l'eau. Cette relation permet d'aboutir à une expression simplifiée de la célérité de propagation de l'onde :

Comme on a brutalement simplifié les équations de départ pour établir cette relation, elle n'est valable que pour des vagues de faible amplitude par rapport à la profondeur de l'eau et de cambrure k**a faible (ou a est l'amplitude des vagues). Ce dernier critère correspond à des vagues pas trop "pentues".

On peut néanmoins tirer de cette relation quelques propriétés intéressantes : notamment,à profondeur importante, la vitesse des vagues ne dépend plus de la profondeur puisque la tangente hyperbolique tend vers 1. De façon plus qualitative, on peut comprendre le comportement des vagues à l'approche du littoral. Quand la profondeur diminue, la pulsation (ou la période) reste constante. Les formules ci-dessus entraînent l'augmentation du nombre d'onde, donc la diminution de la longueur d'onde et de la célérité. La vitesse de groupe $C_g$, vitesse du transport d'énergie décroît elle aussi. Pour que l' énergie du système soit conservée alors qu'elle est transportée à une vitesse plus faible il faut que la densité d'énergie par mètre carré augmente. Or cette densité d'énergie, est, en joules par mètres carrés, égale à $\rho g{a}^2$. La hauteur des vagues $2a$ doit donc augmenter et elles finissent par déferler, lorsque la vitesse des particules d'eau atteint la vitesse de phase de la vague qui les supporte<

Pour simplifier en se limitant au cas de la profondeur infinie :

• Célérité (vitesse de propagation ou vitesse de phase) en m/s : $C=1.25\sqrt{L}$
• Période (temps qui sépare deux crêtes) : $T=0.8\sqrt{L}$
• Longueur d'onde:

Réflexion, diffraction et réfraction

Comme toutes les ondes, en particulier les ondes lumineuses, les vagues peuvent se réfléchir, se diffracter et se réfracter.

La réflexion se produit sur un ouvrage de hauteur immergée importante par rapport à la profondeur et de largeur importante par rapport à la longueur d'onde. Elle est totale sur une digue verticale, partielle sur une digue à talus. Une forte réflexion est aussi possible au-dessus d'un relief sous-marin présentant une série de bosses espacées de la moitié de la longueur d'onde (Heathershaw 1982).

Les phénomènes se compliquent au voisinage d'un obstacle de dimensions relativement petites vis-à-vis des longueurs d'onde, comme un navire, ou de l'extrémité d'une jetée. La réflexion, notion d'optique géométrique, n'est plus applicable car les vagues contournent l'obstacle et produisent ainsi une agitation dans l'ombre. Il faut alors faire appel à la notion de diffraction.

La diminution de c avec la profondeur conduit aussi à des phénomènes de réfraction, exactement analogues à ceux observés en optique. De même que les surfaces d'onde suivent les lignes iso-indice , les vagues tendent à épouser la forme des lignes d'égale vitesse (c’est-à-dire les isobathes ou lignes d'égale profondeur) et à ainsi à épouser le littoral. Les vagues se concentrent donc autour des pointes, où leur hauteur est plus grande, et s'évasent dans les baies. Les courants modifient aussi la vitesse de phase et la relation de dispersion. Ils induisent donc aussi une réfraction.

Mouvement du fluide

Dans la théorie d'Airy, les particules de fluide décrivent des ellipses fixes, dont la taille décroît avec la profondeur. En eau profonde (profondeur supérieure à la moitié de la longueur d'onde) ces ellipses sont des cercles.

Les théories d'ordre supérieur prévoient un faible mouvement global du fluide : la dérive de Stokes. Près de la surface libre, la vitesse d'une particule d'eau est plus importante sous une crête que la vitesse opposée lors du passage du creux suivant. Il en résulte une dérive dans le sens de propagation des vagues qui peut s'inverser en profondeur. Pour les vagues générées par le vent, cette dérive est d'environ 1,2 % de la vitesse du vent pour un état de mer complètement développé et en eau profonde.

Validité et limitations

La théorie d'Airy est particulièrement bien vérifiée dans le cas de vagues se propageant au large et soumises à peu de vent. Au momment du déferlement, elle constitue une approximation moins efficace et on doit alors revenir à une théorie non linéaire. Elle ne prend pas non plus en compte la formation des vagues sous l'action du vent.