Action de groupe (mathématiques)

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Introduction

Une action de groupe est, en mathématiques, une description algébrique d'une famille de transformations géométriques d'un espace, par exemple le groupe des rotations agit sur $R^{n}$ , le groupe de matrices $SL_{n} (Z)$ agit sur l'espace $Q^{n}$ .

Définition

Étant donné un groupe G, dont la loi est notée multiplicativement et dont l'élément neutre est noté e, on peut définir une action (ou opération) de G sur un ensemble E par une application :

G \times E \to E

(g, x) \mapsto g \cdot x

vérifiant les propriétés suivantes :

\forall x \in E, e \cdot x = x

\forall (g, g^{'}) \in G^{2}, \forall x \in E, g^{'} \cdot (g \cdot x) = (g^{'} g) \cdot x .

Dans ce cas on dit également que G opère (ou agit) sur l'ensemble E. Il est important de bien vérifier que l'ensemble E est stable sous l'action du groupe G.

Un point de vue équivalent consiste à dire que le groupe G opère sur l'ensemble E si l'on dispose d'un morphisme de groupes, dit associé à l'action, $ϕ : G \to S (E)$ , du groupe dans le groupe symétrique de l'ensemble. Un tel morphisme est appelé une représentation du groupe G.

Ce morphisme est lié à l'action par

g \cdot x = (ϕ (g)) (x)

pour tous $g \in G, x \in E$ .

Exemples

Un groupe opère sur lui-même de deux manières fondamentales :
par translation à gauche, cette action est libre et transitive:

G \times G \to G, (g, x) \mapsto g x

par automorphisme intérieur, action aussi appelée par conjugaison :

G \times G \to G, (g, x) \mapsto g x g^{- 1}

Le groupe symétrique d'un ensemble E opère naturellement sur E, cette action est fidèle et transitive :

S (E) \times E \to E, (σ, x) \mapsto σ (x)

Le groupe orthogonal (resp. unitaire) d'un espace euclidien (resp. espace hermitien) E opère sur sa sphère unité :

O (E) \times S \to S, (u, x) \mapsto u (x)

U (E) \times S \to S, (u, x) \mapsto u (x)

Le groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E opère sur l'ensemble de ses bases $ð$ , cette action est libre et transitive :

G L (E) \times ð \to ð, (f, (e_{i}) i \in I) \mapsto (f (e_{i})) i \in I

Le groupe projectif (ou groupe des homographies) $PGL (E)$ d'un espace projectif $P (E)$ opère sur l'ensemble $F$ de ses faisceaux harmoniques :

PGL (E) \times F \to F, (ϕ, F) \mapsto ϕ (F)

Si pour tout entier relatif n on définit

f_{n} : C^{*} \to C^{*}, x \mapsto x^{n}

alors le groupe $Z$ opère sur $Q^{*}$ :

$Z \times Q^{*} \to Q^{*}, (n, r) \mapsto f_{n} (r)$ . Cette action est fidèle, mais pas transitive.

Le groupe des permutations opère sur l'ensemble des formes p-linéaires par :

S_{p} \times L p \to L p (σ, φ) \mapsto σ φ : (x_{1}, \dots, x_{p}) \mapsto φ (x σ 1, \dots, x σ p)

Orbites, stabilisateurs et points fixes

Orbite d'un élément

On définit l'orbite d'un élément x de E par

O_{x} = {g \cdot x, g \in G} .

L'orbite de x est l'ensemble des positions (dans E) susceptibles d'être occupées par l'image de x sous l'action de G. La relation « y est dans l'orbite de x » est une relation d'équivalence sur E, les classes d'équivalences sont les orbites.

En particulier, les orbites forment une partition de E.

Stabilisateur d'un élément

Le stabilisateur d'un élément x de E est l'ensemble

G_{x} = S t_{x} = {g \in G / g \cdot x = x}

des éléments qui laissent x invariant sous leur action. C'est un sous-groupe de G. Les stabilisateurs de deux éléments de la même orbite sont isomorphes via la formule :

S t_{g \cdot x} = g S t_{x} g^{- 1}

L'application

{G / S t_{x} \to O_{x} \overset{g}{ˉ} \mapsto g \cdot x

est une bijection de G / S**t_x sur O_x.

Points fixes d'un élément du groupe

On peut définir, de manière analogue, l'ensemble Fix_g des points fixés par un élément $g \in G$ comme l'ensemble des éléments de E invariants sous l'action de g.

Caractéristiques des actions de groupe

Action transitive

Une action est dite transitive si elle possède une seule orbite. Autrement dit, deux éléments quelconques de l'espace peuvent être envoyés l'un sur l'autre par l'action d'un élément du groupe : $\forall x, y \in X, \exists g \in G, y = g . x$ .

Action libre

Une action est dite libre si tous les stabilisateurs sont réduits au neutre, autrement dit si tout élément différent du neutre agit sans point fixe : $\forall x \in E, S t_{x} = {e}$ .

Action fidèle

Une action est dite fidèle (on dit parfois aussi effective) si l'intersection des stabilisateurs de tous les éléments est réduite au neutre. Une action libre est fidèle.

De façon équivalente, une action est fidèle si l'application

ϕ : E \to S (E) g \mapsto ϕ (g)

définie par $g \cdot x = (ϕ (g)) (x)$ est injective.

Action simplement transitive

Ce terme a été l'objet de plusieurs controverses sur son interprétation. Pour certains, cela signifie que l'action n'est que transitive, pour d'autres qu'elle est au moins transitive mais a d'autres propriétés, notamment celle d'être une action directe. Enfin, une troisième école affirme que l'action est à la fois transitive et simple, tout en affirmant que « simplement transitive » est légèrement (pas au sens d'une action légère) différente d'une action « librement transitive ». Toutefois cette école s'est elle-même divisée entre ceux qui prenaient « librement transitive » au sens de libre et transitive, et ceux qui y voyaient une nuance, et de taille, dans la mesure ou la terminologie « simplement transitive » renvoie à des axiomes différents par deux aspects : on ajoute aux axiomes qui définissent une action transitivement simple l'hypothèse que l'action est légèrement différente ; il restait donc à ce courant de bien définir cette action :

Une action est dite simplement transitive si elle est à la fois transitive et libre. Autrement dit, deux éléments quelconques de l'espace sont envoyés l'un sur l'autre par un et un seul élément du groupe : $\forall x, y \in X, \exists! g \in G, y = g . x .$

Formule des classes, formule de Burnside

À travers les notions d'orbite et de stabilisateur, les actions de groupe sont un outil commode en combinatoire. D'autre part, un certain nombre de propriétés concernant la structure de certains groupes peuvent être démontrées par des arguments de dénombrement.

Deux identités reviennent fréquemment. Lorsque l'ensemble E et le groupe G sont finis, la formule des classes affirme que pour toute orbite O_x

card O_{x} = \frac{card G}{card S t _{x}}

Remarquons que les stabilisateurs de 2 éléments d'une même orbite sont conjugués et ont donc le même cardinal (on peut donc remplacer dans la formule ci-dessus x par n'importe quel élément de l'orbite.

Par suite si on désigne par Ω l'ensemble des orbites et par c_ω le cardinal commun des stabilisateurs des éléments de l'orbite ω on peut écrire:

card E = ω \in Ω \sum card ω = card G ω \in Ω \sum \frac{1}{c _{ω}}

Cette formule relie le cardinal de l'ensemble à la structure du groupe G.

La formule de Burnside affirme pour sa part (toujours sous l'hypothèse que E et G sont finis) que le nombre d'orbites est

$card Ω = \frac{1}{card G} \sum_{g \in G} card Fix_{g}$ .

En particulier, si G est un groupe fini agissant transitivement sur un ensemble non vide E, alors la moyenne du nombre de points fixes des éléments du groupe G est égale à 1.