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Lacet (mathématiques)

En mathématiques, un lacet est la modélisation d'une " boucle ". C'est une courbe continue et fermée, c'est-à-dire que ses extrémités sont confondues. La notion de lacet est utile en analyse complexe et en topologie.

Définitions

Si X \,\! est un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts apparaissent dans presque...), on appelle lacet sur X \,\! toute application continue \gamma \, : \, [0,1] \rightarrow X \,\! telle que \gamma \,(0)=\gamma \,(1)\!.

Autre définitions :

  • Un lacet sur X \,\! est un chemin sur X \,\! dont l'extrémité est confondue avec l'origine.
  • Un lacet sur X \,\! est une application continue de S^1 \,\! vers X \,\!.
(où S^1 \,\! dénote le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment...) unité \left\{ z \in \mathbb{C} \, | \, |z|=1 \right\} \,\!)

En analyse complexe on s'intéresse aux lacets qui sont aussi des courbes rectifiables.

On peut aussi définir les lacets polygonaux, ou de classe C^k \,\! (voir Chemins).

Indice dans le plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.)

Dans le cas X=\mathbb{C}, on peut définir l'indice \operatorname{I}(\gamma,z_0)\, d'un lacet γ par rapport à un point (Graphie) z_0\in\mathbb{C} \setminus \gamma([0, 1]) : il correspond au nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) (entier algébrique) de tours effectués par le lacet autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres Erythrotriorchis, Kaupifalco,...) de ce point.

On peut l'obtenir en calculant :

\operatorname{I}(\gamma, z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{dz}{z-z_0}
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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