En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.
On associe en général le plan complexe à un repère orthonormé direct. Dans un tel repère, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) point (Graphie) M est l'image d'un unique nombre complexe (Les nombres complexes forment une extension de l'ensemble des nombres réels. Ils permettent...) z qui est appelé affixe de cet unique point. On note M(z).
Pour tout nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) complexe z tel que z = a + ib (où a et b sont des réels), on a la relation . On peut ainsi dire que la partie réelle de z est l'abscisse de M et que la partie imaginaire de z en est son ordonnée.
D'après cette égalité, tous les points de l'axe sont tels que la partie imaginaire de leur affixe est nulle : leur affixe est donc un nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...). En conséquence, on appelle l'axe
axe des réels.
De la même façon, tous les points de l'axe sont tels que le partie réelle de leur affixe est nulle : leur affixe est donc un nombre imaginaire pur. En conséquence, on appelle l'axe
axe des imaginaires.
(a,b) sont les coordonnées cartésiennes de z = a+ib dans le plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque...). On peut aussi écrire z avec des coordonnées polaires (Les coordonnées polaires sont, en mathématiques, un système de coordonnées...) (r,θ), ce qui correspond à l'écriture exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus...) z = r·exp(iθ). Dans ce cas, r est le module du nombre et θ est un de ses arguments (modulo 2π).
Représentation graphique de z dans le plan complexe, coordonnées cartésiennes et polaire
La somme de deux vecteurs correspond à la somme de leurs affixes. Ainsi, la translation d'un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) donné correspond à l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...) de son affixe.
Une rotation d'un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) θ correspond à la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) de l'affixe par le nombre ei θ, qui est un nombre complexe de module 1.
Une homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à...) de rapport k (réel) correspond à la multiplication de l'affixe par k.