Plan complexe
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En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.

On associe en général le plan complexe à un repère (O, \vec{u}, \vec{v}) orthonormé direct. Dans un tel repère, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point (Graphie) M est l'image d'un unique nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) complexe z qui est appelé affixe de cet unique point. On note M(z).

Pour tout nombre complexe z tel que z = a + ib (où a et b sont des réels), on a la relation \vec{OM} = a\vec{u} + b\vec{v}. On peut ainsi dire que la partie réelle de z est l'abscisse de M et que la partie imaginaire de z en est son ordonnée.

D'après cette égalité, tous les points de l'axe (O, \vec{u}) sont tels que la partie imaginaire de leur affixe est nulle : leur affixe est donc un nombre réel. En conséquence, on appelle l'axe (O, \vec{u}) axe des réels.

De la même façon, tous les points de l'axe (O, \vec{v}) sont tels que le partie réelle de leur affixe est nulle : leur affixe est donc un nombre imaginaire pur. En conséquence, on appelle l'axe (O, \vec{v}) axe des imaginaires.

(a,b) sont les coordonnées cartésiennes de z = a+ib dans le plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.). On peut aussi écrire z avec des coordonnées polaires (Les systèmes de coordonnées polaires dans et sont des systèmes de coordonnées particulièrement adaptées pour l'écriture des rotations ou des homothéties.) (r,θ), ce qui correspond à l'écriture exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions...) z = r·exp(iθ). Dans ce cas, r est le module du nombre et θ est un de ses arguments (modulo ).


Représentation graphique de z dans le plan complexe, coordonnées cartésiennes et polaire

Transformations du plan

La somme de deux vecteurs correspond à la somme de leurs affixes. Ainsi, la translation d'un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un...) donné correspond à l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature,...) de son affixe.

Une rotation d'un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) θ correspond à la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) de l'affixe par le nombre ei θ, qui est un nombre complexe de module 1.

Une homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On dit aussi que c'est une application mathématique de l'espace sur lui-même.) de rapport k (réel) correspond à la multiplication de l'affixe par k.

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