Plan complexe - Définition et Explications

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En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.

On associe en général le plan complexe à un repère (O, \vec{u}, \vec{v}) orthonormé direct. Dans un tel repère, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point (Graphie) M est l'image d'un unique nombre complexe (Les nombres complexes forment une extension de l'ensemble des nombres réels. Ils permettent notamment de définir des solutions à toutes les équations polynomiales à coefficients...) z qui est appelé affixe de cet unique point. On note M(z).

Pour tout nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) complexe z tel que z = a + ib (où a et b sont des réels), on a la relation \vec{OM} = a\vec{u} + b\vec{v}. On peut ainsi dire que la partie réelle de z est l'abscisse de M et que la partie imaginaire de z en est son ordonnée.

D'après cette égalité, tous les points de l'axe (O, \vec{u}) sont tels que la partie imaginaire de leur affixe est nulle : leur affixe est donc un nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres rationnels, qui modélise la notion de longueur et d'autres grandeurs physiques.). En conséquence, on appelle l'axe (O, \vec{u}) axe des réels.

De la même façon, tous les points de l'axe (O, \vec{v}) sont tels que le partie réelle de leur affixe est nulle : leur affixe est donc un nombre imaginaire pur. En conséquence, on appelle l'axe (O, \vec{v}) axe des imaginaires.

(a,b) sont les coordonnées cartésiennes de z = a+ib dans le plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.). On peut aussi écrire z avec des coordonnées polaires (Les coordonnées polaires sont, en mathématiques, un système de coordonnées à deux dimensions, dans lequel chaque point du plan est entièrement déterminé par un...) (r,θ), ce qui correspond à l'écriture exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs...) z = r·exp(iθ). Dans ce cas, r est le module du nombre et θ est un de ses arguments (modulo ).


Représentation graphique de z dans le plan complexe, coordonnées cartésiennes et polaire

Transformations du plan

La somme de deux vecteurs correspond à la somme de leurs affixes. Ainsi, la translation d'un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur,...) donné correspond à l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les aires, ou les...) de son affixe.

Une rotation d'un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) θ correspond à la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) de l'affixe par le nombre ei θ, qui est un nombre complexe de module 1.

Une homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On dit aussi...) de rapport k (réel) correspond à la multiplication de l'affixe par k.

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