Quels sont les liens entre la musique et les mathématiques ?
Publié par Adrien le 08/10/2014 à 17:00
Source: Martin LaSalle - Université de Montréal

Illustration: Benoît Gougeon.
Qu'elle nous fasse planer, vibrer ou maugréer, la musique est composée de séries de notes ou de sons qui ont pour assise les... mathématiques.

Pour comprendre, imaginons une corde de guitare qui, lorsqu'elle est pincée sur sa pleine longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de...), produit la note do.

Comme toutes les autres notes de la gamme, le do renferme en réalité plusieurs autres "notes" qui correspondent aux différentes composantes fréquentielles (ou harmoniques) du son: ces fréquences harmoniques sont définies comme des multiples entiers de la fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. Ainsi lorsqu'on emploie le mot...) dite "fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.)" (deux fois, trois fois, quatre fois, cinq fois, etc.) et résonnent simultanément.

"En d'autres termes, ces harmoniques sont des notes graves et aiguës qui se produisent en même temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) que la note do, mais à divers intervalles. Toutes ces "notes" contribuent au timbre du son", explique Caroline Traube, professeure à la Faculté de musique de l'Université (Une université est un établissement d'enseignement supérieur dont l'objectif est la production du savoir (recherche), sa conservation et sa transmission...) de Montréal (Montréal est à la fois région administrative et métropole du Québec[2]. Cette grande agglomération canadienne constitue un centre majeur du commerce, de l'industrie, de la culture, de la finance et des...).

Revenons à notre corde de guitare. En faisant résonner non plus la longueur totale de la corde mais seulement sa moitié (en la bloquant avec le doigt sur la 12e frette), nous obtenons un autre do mais une octave plus haut, c'est-à-dire à un intervalle de huit notes du côté des aigus.

En bloquant maintenant la corde au tiers de sa longueur, on obtient un sol qui est situé une quinte au-dessus du do fondamental. L'intervalle est ainsi défini par le rapport mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures,...) 3/2 (trois demis), qui est l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un...) de la proportion de la corde qui résonne. C'est aussi l'intervalle qui sépare les deuxième et troisième fréquences harmoniques d'un son périodique.

Puis, en bloquant la corde au cinquième de sa longueur (les 4/5 de la longueur résonnent alors), on obtiendra un mi (une tierce majeure au-dessus du do), dont le rapport mathématique est défini par une proportion de 5/4.

En résumé, quand on parcourt la série des harmoniques du do fondamental, on effectue des sauts d'intervalles musicaux: octave (2/1), quinte (3/2), quarte (4/3), tierce majeure (5/4), tierce mineure (6/5)...

Mais à quoi servent ces rapports mathématiques ?

Parmi les multiples possibilités qu'ils recèlent, les rapports mathématiques permettent notamment de synthétiser les notes de la gamme de façon à assurer une harmonie parfaite. "Ainsi, à l'aide d'un ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un...) ou d'un synthétiseur, on peut créer un do fondamental dont la fréquence sera de 130 hertz (Le hertz (symbole : Hz) est l’unité dérivée de fréquence du système international (SI). Elle est équivalente à une oscillation par seconde (s-1 ou 1⁄s).). Pour obtenir le sol situé à la quinte, on multiplie le rapport 3/2 [quinte] par la fréquence de 130 hertz, ce qui donnera un sol dont la fréquence sera de 195 hertz [3/2 X 130 = 195]", explique Mme Traube.

Cette compréhension de la nature du son permet une multitude d'applications, entre autres dans les studios d'enregistrement. Par exemple, à l'aide de sa console, l'ingénieur (« Le métier de base de l'ingénieur consiste à résoudre des problèmes de nature technologique, concrets et souvent complexes, liés à la conception, à la réalisation et...) du son règle la dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) des pistes sonores qu'il mélange (Un mélange est une association de deux ou plusieurs substances solides, liquides ou gazeuses qui n'interagissent pas chimiquement. Le résultat de l'opération...) et filtre (Un filtre est un système servant à séparer des éléments dans un flux.) de façon que chacune soit en harmonie avec les autres, qu'elle soit bien perçue par l'oreille (L'oreille est l'organe qui sert à capter le son et est donc le siège du sens de l'ouïe, mais elle joue également un rôle important dans l'équilibre. Le...) et qu'elle procure une esthétique et une intelligibilité optimales.
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