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Inverse

En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne l?élément neutre.

La notion d?inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément...) est primordiale en algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.). Le simple fait que tous les éléments d?un monoïde aient un inverse, par exemple, fait de ce monoïde un groupe.

Si la loi est associative, alors tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) élément inversible x de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) considéré admet un unique inverse, noté x?¹ ou \scriptstyle \frac{1}{x}.

Exemples.

  • L'inverse de 2 dans l'ensemble ? des nombres réels est 1/2 ou encore 0,5.
  • L'inverse de l'imaginaire pur i est -i car i·(-i) = 1.
  • L'inverse d'une fonction f, si elle est bijective, est la fonction g telle que f o g = g o f = id, où « id » désigne la fonction identité (En mathématiques, sur un ensemble X donné, la fonction identité est la fonction, notée id qui à tout élément x de X associe lui-même :) sur l?ensemble de définition (En mathématiques, l' ensemble de définition D f  d'une fonction  f  dont l' ensemble de départ est noté  E  et l' ensemble d'arrivée  F , est l'ensemble des antécédents de f,...) de f.
  • L?inverse d?un élément pour l?addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les aires, ou les volumes....) est son opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une...).

Souvent, la loi noté multiplicativement est la deuxième loi d'une structure appelée anneau. Ce cas est traité dans l'article élément inversible.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

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