Inverse
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En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne l’élément neutre.

La notion d’inverse est primordiale en algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une...). Le simple fait que tous les éléments d’un monoïde aient un inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne...), par exemple, fait de ce monoïde un groupe.

Si la loi est associative, alors tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) élément inversible x de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) considéré admet un unique inverse, noté x⁻¹ ou \scriptstyle \frac{1}{x}.

Exemples.

  • L'inverse de 2 dans l'ensemble ℝ des nombres réels est 1/2 ou encore 0,5.
  • L'inverse de l'imaginaire pur i est -i car i·(-i) = 1.
  • L'inverse d'une fonction f, si elle est bijective, est la fonction g telle que f o g = g o f = id, où « id » désigne la fonction identité (En mathématiques, sur un ensemble X donné, la fonction identité est la fonction, notée id qui à tout élément x de X associe lui-même :) sur l’ensemble de définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les...) de f.
  • L’inverse d’un élément pour l’addition est son opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont insérés au même...).

Souvent, la loi noté multiplicativement est la deuxième loi d'une structure appelée anneau. Ce cas est traité dans l'article élément inversible.

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