Algèbre sur un anneau

En mathématiques, une algèbre sur un anneau commutatif est une structure algébrique qui se définit comme suit:

$(E,\mathbb{A},+,\cdot ,\times )$ est une algèbre sur l'anneau commutatif $\mathbb{A}$, ou une $\mathbb{A}$- algèbre, si :

1. (E, +, ·) est un module sur $\mathbb{A}$ ;
2. la loi de composition interne ×, de E x E dans E, est bilinéaire.

Soient $\mathbb{A}$ un anneau commutatif et E un module sur $\mathbb{A}$ contenant l'opération binaire (c'est-à-dire $\forall x,y\in E,xy$, est le « produit » de x et y). Si l'opération binaire est bilinéaire, ce qui signifie que pour tous $x,y,z\in E$ (éléments du module) et pour tout $a\in \mathbb{A}$ (scalaires), ces identités sont vraies :

• $(x+y)z=xz+yz$;
• $x(y+z)=xy+xz$;
• $(ax)y=a(xy)=x(ay)$,

alors E est une algèbre sur $\mathbb{A}$. On dit aussi que E est une $\mathbb{A}$-algèbre où $\mathbb{A}$ est la base de l'algèbre E. L'opération bilinéaire est appelé la multiplication dans l'algèbre E.

Lorsque $\mathbb{A}$ est un corps commutatif, E est un espace vectoriel sur $\mathbb{A}$.

Un morphisme entre deux $\mathbb{A}$-algèbres E et F, $f:E\to F$ est un morphisme pour les lois internes (addition et multiplication) et le produit par des scalaires : f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b), et f(ax)=af(x) pour tous $a,b\in \mathbb{A}$ et tout $x\in E$).

Un morphisme f est un isomorphisme si f est bijective (son inverse est alors automatiquement un morphisme d'algèbres). Deux algèbres E et F sur $\mathbb{A}$ sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de $\mathbb{A}$-algèbres $f:E\to F$.